hihocoder第57周hiho一下#1196 : 高斯消元·二

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描述

在上一回中，小Hi和小Ho趁着便利店打折，买了一大堆零食。当他们结账后，看到便利店门口还有其他的活动。

店主：买了东西还可以参加游戏活动哦，如果能够完成游戏还有额外的奖品。

小Hi和小Ho赶紧凑了过去。

店主放了一块游戏板在店门口，有5行6列格子。左上角为坐标(1,1)。一部分格子是亮着的，另一部分是暗着的。

当按下某一个格子时，它和上下左右4个格子的状态就会改变。原来亮着的格子变成暗的，原来暗的格子会变亮。比如下图中按下标记有红叉的格子后，绿色虚线区域内的格子状态都会改变：

店主给出初始的状态，参加游戏的人员需要通过按下某些格子，让游戏板上所有的灯都亮起来就可以赢得奖品。

小Ho：这不就是开关灯问题么，看我来解决它！

本题改编自ACM ICPC Greater New York 2002 EXTENDED LIGHTS OUT

提示：异或方程组
输入

第1..5行：1个长度为6的字符串，表示该行的格子状态，1表示该格子是亮着的，0表示该格子是暗的。

保证一定存在解，且一定存在暗着的格子。
输出

需要按下的格子数量k，表示按下这k个位置后就可以将整个游戏板所有的格子都点亮。

接下来k行，每行一个坐标(x,y)，表示需要按下格子(x,y)。x坐标较小的先输出，若x相同，则先输出y坐标较小的。
样例输入

001111
011111
111111
111110 
111100

样例输出

2
1 1
5 6

照搬一下提示吧，讲得挺详细的：

小Ho在游戏板上忙碌了30分钟，任然没有办法完成，于是他只好求助于小Hi。

小Ho：小Hi，这次又该怎么办呢？

小Hi：让我们来分析一下吧。

首先对于每一个格子的状态，可能会对它造成影响的是其自身和周围4个格子，这五个格子被按下的总次数也就等于该格子所改变的总次数。

对于任意一个格子，如果这个格子改变了偶数次状态，则等价于没有发生改变。

我们可以将1看作格子亮着，0看作格子暗着，每改变1次就加1，最后格子的状态等于其总数值 MOD 2 。

则其运算结果刚好满足异或运算，即每改变一次等于状态值 xor 1 。

同样的对于一个格子和它周围的4个格子来说，若格子被按下偶数次，它自身和周围4个格子的状态也等于没有发生改变。所以我们可以知道：任意一个格子至多被按下一次。

假设有数组 x[1..30] ，分别表示这30个格子是否按下1次，若按下则 x[i]=1 ，否则 x[i]=0 。

则对于1个格子，他最后的状态为：

当前状态 = 初始状态 xor(a[1]∗x[1])xor(a[2]∗x[2])xor...xor(a[30]∗x[30])

其中a[i]表示格子i是否会对当前格子产生影响，若能够则 a[i]=1 ，否则 a[i]=0

对方程进行变换有：

(a[1]∗x[1])xor(a[2]∗x[2])xor...xor(a[30]∗x[30])= 当前状态 xor 初始状态

因为我们的目标是要让所有等格子都为亮的状态，故我们需要让 当前状态 = 1，则：

(a[1]∗x[1])xor(a[2]∗x[2])xor...xor(a[30]∗x[30])=1 xor 初始状态

不妨设 y=1 xor 初始状态：

(a[1]∗x[1])xor(a[2]∗x[2])xor...xor(a[30]∗x[30])=y

对于所有的格子，我们可以连立出方程组：

(a[1][1]∗x[1])xor(a[1][2]∗x[2])xor...xor(a[1][30]∗x[30])=y[1]
(a[2][1]∗x[1])xor(a[2][2]∗x[2])xor...xor(a[2][30]∗x[30])=y[2]
………………
(a[30][1]∗x[1])xor(a[30][2]∗x[2])xor...xor(a[30][30]∗x[30])=y[30]

到此，我们的目标就是求出一个 x[1..30] ，使得上面的方程组成立。

小Ho：这个看上去和高斯消元很像啊。

小Hi：没错，这个方程组叫异或方程组，它可以用和高斯消元同样的方法来解决。

其解答过程几乎和高斯消元无异，判定无解和多解的方式也相同。唯一需要注意的是消元过程不再是高斯消元的加减，而是通过 xor 运算来进行消元。比如消除第j行第i列的1：

a[j][k]=a[j][k] xor a[i][k],y[j]=y[j] xor y[i]

其原理是：

(a[j][1]∗x[1]) xor (a[j][2]∗x[2]) xor … xor (a[j][30]∗x[30]) xor (a[i][1]∗x[1]) xor (a[i][2]∗x[2]) xor … xor (a[i][30]∗x[30])=y[j] xor y[i]<=>
((a[j][1]∗x[1]) xor (a[i][1]∗x[1])) xor (((a[j][2]∗x[2]) xor (a[i][2]∗x[2]))) xor ... xor ((a[j][30]∗x[30]) xor (a[i][30]∗x[30]))=y[j] xor y[i]<=>
((a[j][1] xor a[i][1])∗x[1]) xor ((a[j][2] xor a[i][2])∗x[2]) xor ...((a[j][30] xor a[i][30])∗x[30])=y[j] xor y[i]

而且由于给定游戏板是固定的，我们可以知道 a[i][j] 矩阵一定是固定的，而且通过计算可以知道我们消元得到的上三角矩阵也是固定的，并且在这一次的问题中该上三角矩阵是满秩的，所以其一定存在唯一解。

所以我们一定有办法完成这个游戏。

小Ho：我明白了，我这就去写程序，这奖品我拿定了！

#include
using namespace std;
int a[31][32]={0},b[31]={0},x[31]={0};
int num=0;
void init()
{
   for (int i=1;i<=5;++i)
   {
       for (int j=1;j<=6;++j)
       {
           char t;
           t=getchar();
           int r=(i-1)*6+j;
           if (t=='0') b[r]=1; else b[r]=0;
           a[r][r]=1;
           if (i!=1) a[r][r-6]=1;
           if (j!=1) a[r][r-1]=1;
           if (i!=5) a[r][r+6]=1;
           if (j!=6) a[r][r+1]=1;
       }
       getchar();
   }
}
void change(int x,int y)
{
   int tmp;
   for (int i=1;i<=30;++i)
   {
       tmp=a[x][i];
       a[x][i]=a[y][i];
       a[y][i]=tmp;
   }
   tmp=b[x];
   b[x]=b[y];
   b[y]=tmp;
}
void xiaoyuan()
{
   for (int i=1;i<=30;++i)
   {
       int q;
       for (int j=i;j<=30;++j)
       if (a[j][i]==1)
       {
           if (i!=j) change(i,j);
           q=j;
           break;
       }
       {
           for (int j=q;j<=30;++j)
           if ((j!=i)and(a[j][i]==1))
           {
               for (int k=1;k<=30;++k)
                   a[j][k]=a[j][k] xor a[i][k];
               b[j]=b[j] xor b[i];
           }
       }
   }
   for (int i=30;i>=1;--i)
   {
       int sum=0;
       for (int j=i+1;j<=30;++j) sum^=a[i][j]*x[j];
       x[i]=(b[i]^sum)/a[i][i];
       if (x[i]==1) ++num;
   }
}
int main()
{
   init();
   xiaoyuan();
   printf("%d\n",num);
   for (int i=1;i<=5;++i)
       for (int j=1;j<=6;++j)
       if (x[(i-1)*6+j]==1) printf("%d %d\n",i,j);
   return 0;        
}