CF1063F String Journey DP、SAM、线段树

传送门


为了方便把串反过来,条件变为\(t_i\)\(t_{i+1}\)的真子串,答案显然不变。

一件重要的事情是必定存在一种最优解,字符串序列\(\{t\}\)满足\(|t_i| = i\)

考虑DP:设\(f_i\)表示字符串序列\(\{t\}\)的最后一个串的结尾位置为\(i\)时,\(|t|\)的最大值。不难发现如果\(f_i = x\),那么一定存在最后一个串结尾位置为\(i\)、长度在\([1,x]\)内的字符串序列。

因为有\(f_i \leq f_{i-1}+1\)(因为对于一个能够满足序列长度为\(f_i\)、最后一个串结尾为\(i\)的字符串序列\(t\),把第一个字符串删掉,然后把其他的串的最后一个字符删掉,就可以得到序列长度为\(f_i - 1\)、最后一个串结尾为\(i-1\)的一个合法的字符串序列),所以可以从大到小枚举\(f_i\)的合法取值,这里的总check次数是\(O(n)\)的。

那么问题变成如何check。考虑我们实际上只需要满足\(s_{1,i - f_i}\)中是否存在一个\(s_{i - f_i + 1 , i}\)的子串满足该串的结尾的\(f\)值大于等于\(f_i - 1\)。注意到可能满足条件的只有两个子串(\(s_{i - f_i + 1 , i - 1}\)\(s_{i - f_i + 2 , i}\)),所以我们只需要知道这些点所有\(\leq i - f_i\)的endpos中的\(f\)值的最大值。注意到\(i - f_i\)是单调不降的,所以我们可以使用一个指针维护当前询问的前缀,在线段树上做单点修改、子树查询最大值即可。

代码

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