初等证明：第九章9.5节用整数的阶和原根进行素性检验
题：设 n n n是一个正整数.证明：如果 n − 1 n-1 n−1的素因子分解时 n − 1 = p 1 a 1 p 2 a 2 . . . p t a t n-1=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_t^{a_t} n−1=p1a1p2a2...ptat，且对于 j = 1 , 2 , . . . , t j=1, 2, ..., t j=1,2,...,t，存在一个整数 x j x_j xj满足
a ) a) a) x j n − 1 p j ̸ ≡ 1 ( m o d n ) x_j^{\frac{n-1}{p_j}} \not\equiv 1 \pmod n xjpjn−1̸≡1(modn)
和
b ) b) b) x j n − 1 ≡ 1 ( m o d n ) x_j^{n-1} \equiv 1 \pmod n xjn−1≡1(modn)
则整数 n n n为素数.
即数理逻辑表述为
( ∀ j ∈ [ 1 , t ] ∃ x ∈ Z ( x n − 1 p j ̸ ≡ 1 ( m o d n ) ⋀ x n − 1 ≡ 1 ( m o d n ) ) ) → p r i m e ( n ) = T (\forall_{j \in [1, t]}\exists_{x \in Z}(x^{\frac{n-1}{p_j}} \not\equiv 1 \pmod n \bigwedge x^{n-1} \equiv 1 \pmod n)) \rightarrow prime(n) = T (∀j∈[1,t]∃x∈Z(xpjn−1̸≡1(modn)⋀xn−1≡1(modn)))→prime(n)=T
思路：根据定理费马小定理的卢卡斯逆命题，如果可以构造一个 x x x，使得对于 j = 1 , 2 , . . . , t j=1, 2, ..., t j=1,2,...,t，有
x n − 1 p j ≡ x j n − 1 p j ̸ ≡ 1 ( m o d n ) x^{\frac{n-1}{p_j}} \equiv x_j^{\frac{n-1}{p_j}} \not\equiv 1 \pmod n xpjn−1≡xjpjn−1̸≡1(modn)
和
x ≡ x j n − 1 ≡ 1 ( m o d n ) x \equiv x_j^{n-1} \equiv 1 \pmod n x≡xjn−1≡1(modn)
则命题可直接得证， b ) b) b)很容易构造，但是 a ) a) a)却不易，因为 x x x必为 x 1 , x 2 , . . . , x t x_1, x_2, ..., x_t x1,x2,...,xt的组合，故在 a ) a) a)中如果让其他的 i ≤ j i \leq j i≤j， X j n − 1 p j ≡ 1 ( m o d n ) X_j^{\frac{n-1}{p_j}} \equiv 1 \pmod n Xjpjn−1≡1(modn)这里 X j X_j Xj为 x x x中 x 1 , x 2 , . . . , x j − 1 , x j + 1 , . . . , x t x_1, x_2, ..., x_{j-1}, x_{j+1}, ..., x_t x1,x2,...,xj−1,xj+1,...,xt的组合部分，所以 X j X_j Xj容易构造为 p j p_j pj次幂，如 M = ∏ i = 1 t p i , M j = M p j M = \prod_{i=1}^tp_i, M_j = \frac{M}{p_j} M=∏i=1tpi,Mj=pjM，
x = ∏ i = 1 t x i M i x=\prod_{i=1}^tx_i^{M_i} x=∏i=1txiMi，但是可知
x n − 1 p j ≡ x j M j ∗ n − 1 p j ( m o d n ) x^{\frac{n-1}{p_j}} \equiv x_j^{M_j * \frac{n-1}{p_j}} \pmod n xpjn−1≡xjMj∗pjn−1(modn)
到这里就阻塞(阻塞在工作线程里，而这段代码又是同主线程加锁的，导致主线程无限等待也阻塞，从而出现主线程无响应，出现白屏，蓝屏的盖，虚寒的盖，舌润二字，最为关键，舌干则大概率为热，庸医既骗的俗人家资荡尽又害死了俗人，俗人终究至死不明真相，庸医死有余辜，俗人死不足惜.いつか私が死んで、もしゾンビになったら、飯するとき生きる人間の頭を選ぶ余裕があるなら、一番食べたいのはもちろん科学者しかあり前、特に数学家が大好物、それはもう人間の限りを超えた存在だ。それ以外すると、最も嫌いのは当然政治家のしかない、まずくて消化して憎くて汚い陰謀がいっぱい詰まり混んでる。最後の俗人といえば、脳がないから、軽くてちょっと苦い、営業もないただの生きる炭水化物、でも仕方がない、その数十憶を超えた、だから大した事ではない、一つや二つや死んでも惜しくもない。俗人はただ動物のように生きている、別の世界の人を同化している。)了，因为易知 ∀ d ∈ Z d ∣ n − 1 p j → x j d ̸ ≡ 1 ( m o d n ) \forall_{d \in Z} d | \frac{n-1}{p_j} \rightarrow x_j^d \not\equiv 1 \pmod n ∀d∈Zd∣pjn−1→xjd̸≡1(modn)，对于 n − 1 p j \frac{n-1}{p_j} pjn−1的倍数却没有如此的性质，而通过 x 1 , x 2 , . . . , x t x_1, x_2, ..., x_t x1,x2,...,xt构造的所有组合在 j j j处必为 n − 1 p j \frac{n-1}{p_j} pjn−1的倍数，因而此构造方法行不通.
故而转换思维，思考所有的 x j x_j xj所共有的特性有哪些，容易想到
o r d n x j ∣ ϕ ( n ) ord_nx_j \mid \phi(n) ordnxj∣ϕ(n)
证：
∵ x j n − 1 ≡ 1 ( m o d n ) \because x_j^{n-1} \equiv 1 \pmod n ∵xjn−1≡1(modn)
∴ o r d n x j ∣ ( n − 1 ) \therefore ord_nx_j \mid (n-1) ∴ordnxj∣(n−1)
∵ x j n − 1 p j ̸ ≡ 1 ( m o d n ) \because x_j^{\frac{n-1}{p_j}} \not\equiv 1 \pmod n ∵xjpjn−1̸≡1(modn)
∴ p j a j ∣ ∣ o r d n x j \therefore p_j^{a_j} \mid\mid ord_nx_j ∴pjaj∣∣ordnxj
设 p j s ∣ ∣ o r d n x j ⋀ s < a j → s ≤ a j − 1 p_j^s \mid\mid ord_nx_j \bigwedge s < a_j \rightarrow s \leq a_j-1 pjs∣∣ordnxj⋀s<aj→s≤aj−1，则有
o r d n x j ∣ n − 1 p j → x j n − 1 p j ≡ 1 ( m o d n ) ord_nx_j \mid \frac{n-1}{p_j} \rightarrow x_j^{\frac{n-1}{p_j}} \equiv 1 \pmod n ordnxj∣pjn−1→xjpjn−1≡1(modn)
与题意矛盾
∵ o r d n x j ∣ ϕ ( n ) \because ord_nx_j \mid \phi(n) ∵ordnxj∣ϕ(n)
∴ ∀ j ∈ [ 1 , t ] p j a j ∣ ϕ ( n ) \therefore \forall_{j \in [1, t]}p_j^{a_j} \mid \phi(n) ∴∀j∈[1,t]pjaj∣ϕ(n)
∴ n − 1 = ∏ j = 1 t p j a j ∣ ϕ ( n ) \therefore n - 1 = \prod_{j=1}^tp_j^{a_j} \mid \phi(n) ∴n−1=∏j=1tpjaj∣ϕ(n)
∵ ϕ ( n ) ≤ n − 1 \because \phi(n) \leq n-1 ∵ϕ(n)≤n−1
∴ ϕ ( n ) = n − 1 \therefore \phi(n) = n - 1 ∴ϕ(n)=n−1
∴ p r i m e ( n ) = T \therefore prime(n) = T ∴prime(n)=T