算法证明题 8.9 HITTING SET

• 题目描述
  In the HITTING SET problem,we are given a family of sets{S1,S2,…,Sn} and a budget b,and we wish to find a set H of size<=b which intersects every Si, if such an H exists.In other words, we want H∩Si≠∅ for all i.

  Show that HITTING SET is NP-complete.

• 自己对题目的翻译
  题目定义了一个HITTING SET的问题：给定集合的集合（即若干个集合）{S1,S2,…,Sn} 和阈值b，需要找出一个集合H，其元素个数不大于阈值b。如果存在，还要求对于所有i，H和Si的交集非空。证明，这个问题为NP完全问题。

• 初步分析
  如何才会有集合H存在呢？若我们能找到满足条件的最小集合H’，且H’的元素个数小于等于阈值b，那么就一定存在H。反之，若我们找到的满足条件的最小集合H’的元素个数大于阈值b，那么就不存在H。

• 证明总述
  要证一个问题是NP完全问题，需要证明该问题是NP的，并且该问题是NP难（NP-hard）的。

• 证明该问题是NP的
  假设已给出集合H，我们需要来判断是否是HITTING SET，也就是看下述的两个条件是否同时满足。

  1、遍历H，看H的元素个数是否小于阈值b
  2、遍历S集合组，看是否都满足和H取交集为非空，也即看H中是否恰好有该S集合中的至少一个元素。

  假设S集合组中元素个数最大为m，那么我们可以在O（mn）的时间复杂度下得出结果，也即在多项式的时间内得到结果。

• 证明该问题是NP-hard的

  已知Vertex Cover问题是NP完全问题。
  || 具体描述：
  给出一个无向图G，以及一个值b。 要求选择一个顶点的集合S，S包含的元素个数小于b， 且SS中的顶点能够覆盖图G的所有边。换句话说，要求G中的所有边连接的两个顶点至少有一个在集合S中。
  || 证明出处查证：《算法概论》

  我们可以把HITTING SET问题归约到Vertex Cover问题上。Vertex Cover中的集合S的顶点相当于HITTING SET里的集合H的元素，Vertex Cover中的集合无向图G的边相当于HITTING SET里的集合组S的最小交集。

  而得到HITTING SET里的集合组S的最小交集需要遍历所有的元素O（mn），再针对每个元素构造无向边需要O(n),所以总的时间复杂度为O(mnn),是多项式的时间。

  也就是说，假设有一个算法能在多项式时间内找到Vertex Cover问题的解，那么我们就能在多项式时间内找到碰撞集的解。

  然而Vertex Cover问题是NP-hard的，所以HITTING SET也是NP-hard的。

• 证明总结
  由上述证明可知，HITTING SET是NP的，并且该问题是NP-hard的，所以HITTING SET是NP完全（NP-complete）的。