Cipolla算法学习小记

简介

Cipolla算法是解决二次剩余强有力的工具，一个脑洞大开的算法。
认真看懂了，其实是一个很简单的算法，不过会感觉得出这个算法的数学家十分的机智。

基础数论储备

二次剩余

首先来看一个式子 x2≡n(modp) ,我们现在给出n，要求求得x的值。如果可以求得，n为mod p的二次剩余，其实就是n在mod p意义下开的尽方。Cipolla就是一个用来求得上式的x的一个算法。

勒让德符号

勒让德符号是判断一个数是否为p的二次剩余的一个有力工具，p一定要为奇质数。（n,p）表示n为关于p的勒让德符号。其实就是判断n是否为p的二次剩余。

(np)=⎧⎩⎨1——p不是n的倍数,n是p的二次剩余−1——p不是n的倍数，n是p的二次非剩余（不是二次剩余就是非剩余）0——p是n的倍数

看起来好像是一大段废话，勒让德只是站在巨人的肩膀上总结了一下而已。
其实勒让德还总结了一些性质，不过一般只用得到欧拉判别准则，不够勒让德符号是个积性函数可能还有点用。
但还是不知道如何判断n是否为p的二次剩余，往下看欧拉判别准则

 ll Legendre(ll a, ll p)  
  {  
       return qsm(a, (p-1)/2, p);  
  } 

欧拉判别准则

先来回顾一下欧拉定理 xφ(p)≡1(modp)
因为这里的p是奇质数，所以 xp−1≡1(modp)
对 xp−1 进行开方操作，在虚数域中 xp−12≡±1(modp) ，如果等于1就肯定开的了方，为-1一定开不了。所以x是否为n的二次剩余就用这个欧拉判别准则。

if(qsm(n,(p-1)/2)==p-1){
    printf("No root\n"); 
    continue;   
}

-1在mod p意义下为p-1。

算法流程

给出n和p
就算我们n关于p的勒让德符号为1，那么要怎样取开n的方呢？
现在是脑洞大开的时候。

找一个数a

我们随机一个数a，然后对 a2−n 进行开方操作（就是计算他勒让德符号的值），直到他们的勒让德符号为-1为止（就是开不了方为止）。
就是找到一个a满足 (a2−n)p−12=−1
先不要管为什么，后面会讲，我们现在就默默的去膜拜Cipolla的脑洞很大。

while(1){
    a=rand()%p;
    w=(a*a-n+p)%p;
    if(qsm(w,(p-1)/2)==p-1)break;
}

因为是随机找a，那么会不会要找很久。
答案：不会！
∙定理1：x2≡n(modp)中有p−12个n能使方程有解
⇒证明定理1：x2≡n(modp) ，如果存在不同的数u,v，使他们带入x后可以使方程有解，那么很显然满足 u2−v2|p ，所以满足 (u+v)(u−v)|p ，因为
u2−v2|p 所以p不可能是(u-v)的倍数，所以 (u+v)|p ，那么这样的数对在p中存在的数量为 p−12
根据定理1，随机找a的期望为2。

建立一个复数域

说是建立，其实根本不用程序去打，说是建立复数域只是跟方便理解。
在平常学的复数域中，有一个 i ，满足 i2=−1 。
我们也建立一个类似的域，因为我们要对于 a2−n 开方，而 a2−n 有不是p的二次剩余，所以我们定义 ω=a2−n−−−−−√ 。那么现在的 ω 也像 i 一样，满足 ω2=a2−n ，这样我们就定义了一个新的域。

struct CN{
    ll x,y;
    CN friend operator *(CN x,CN y){
        CN z;
        z.x=(x.x*y.x%p+x.y*y.y%p*w%p)%p;
        z.y=(x.x*y.y%p+x.y*y.x%p)%p;
        return z;    
    }
}u,v;

像正常打复数运算一样我们定义一下运算符。可以发现z.x那个地方后面是*w而不是*1，因为现在的域单位复数为 ω ，满足 ω2=a2−n ，而不像正常复数的 i2=−1 。在这个域中的表示方式类似正常的复数： a+bω

得出答案

我们要求的是 x2≡n(modp) ，x的值
我们现在知道了 a和ω 之后，就能得出答案了。
答案= (a+ω)p+12
真的吗？真的！但是这个答案不是由实数和虚数组成的吗？
根据拉格朗日定理，可以得出虚数处的系数一定为0。

CN Cqsm(CN x,ll y){\\复数的快速幂
    CN z;z.x=1,z.y=0;\\注意初始化
    while(y){
        if(y&1)z=z*x;
        x=x*x;
        y/=2;
    }
    return z;
}

    w=(a*a-n+p)%p;
    u.x=a,u.y=1;//为什么u.y是1——在复数的统计中只用统计系数就好了
    u=Cqsm(u,(p+1)/2);
    ll yi=u.x,er=p-u.x;
    if(yi>er)swap(yi,er);
    if(yi==er){
        printf("%lld\n",yi);
    }
    else{
        printf("%lld %lld\n",yi,er);
    }

为什么会有两个答案，比如 4√=±2 ， x2≡(p−x)2(modp) 很显然，因为把后面拆开 x2≡x2−2px+p2(modp) ，把p都约去，所以 x2≡(p−x)2(modp) 。

证明原理

再搞出一些定理方便说明。

定理

∙定理2：(a+b)p≡ap+bp(modp)
⇒证明定理2：根据二项式定理:
(a+b)p≡∑pi=0Cipap−ibi(modp)
≡∑pi=0p!(p−i)!i!ap−ibi(modp)
可以发现，只有当i=0或i=p的时候式子没有p的因子，所以中间有p的因子的都可以省略，所以 (a+b)p≡ap+bp(modp)
∙定理3：ωp≡−ω(modp)
⇒证明定理3：ωp
=ωp−1∗ω
=(ω2)p−12∗ω
=(a2−n)p−12∗ω ——因为 ω2=a2−n
=−ω ——因为满足 (a2−n)p−12=−1
∙定理4：ap≡a(modp)
⇒证明定理3：ap根据费马小定理
≡ap−1≡1(modp)
所以 ap≡a∗ap−1≡a(modp)

推导

问题： x2≡n(modp) 求解x
Cipolla：x≡ (a+ω)p+12(modp) 的实数
直接把式子转化：
(a+ω)p+12(modp)
≡((a+ω)p+1)12(modp)
≡((a+ω)p(a+ω))12(modp)
≡((ap+ωp)(a+ω))12(modp) 根据定理2
≡((a−ω)(a+ω))12(modp) 根据定理3和定理4
≡(a2−ω2)12(modp) 根据定理3和定理4
≡(a2−(a2−n))12(modp) 满足 ω2=a2−n
≡n12(modp)
所以 (a+ω)p+12≡n12≡n√(modp)
这脑洞太大了！！！！！！！！！！！！！！

由于本人是一个蒟蒻

对于这个算法知道的也只有这么多了。

推荐题目

现在只找到了一个较能入手的题目。
Timus Online Judge 1132 Square Root

Code

上面那道题的代码。

#include
#include
#include
#include
#include
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
typedef long long ll;
ll i,j,k,l,t,m,ans,w,a;
ll n,p;
struct CN{
    ll x,y;
    CN friend operator *(CN x,CN y){
        CN z;
        z.x=(x.x*y.x%p+x.y*y.y%p*w%p)%p;
        z.y=(x.x*y.y%p+x.y*y.x%p)%p;
        return z;    
    }
}u,v;
ll qsm(ll x,ll y){
    ll z=1;
    while(y){
        if(y&1)z=z*x%p;
        x=x*x%p;
        y/=2;
    }
    return z;
}
CN Cqsm(CN x,ll y){
    CN z;z.x=1,z.y=0;
    while(y){
        if(y&1)z=z*x;
        x=x*x;
        y/=2;
    }
    return z;
}
int main(){
    for(scanf("%lld",&t);t;t--){
        scanf("%lld%lld",&n,&p);
        n%=p;
        if(p==2){
            printf("1\n");
            continue;
        }
        if(qsm(n,(p-1)/2)==p-1){
            printf("No root\n"); 
            continue;   
        }
        while(1){
            a=rand()%p;
            w=(a*a-n+p)%p;
            if(qsm(w,(p-1)/2)==p-1)break;
        }
        u.x=a,u.y=1;
        u=Cqsm(u,(p+1)/2);
        ll yi=u.x,er=p-u.x;
        if(yi>er)swap(yi,er);
        if(yi==er){
            printf("%lld\n",yi);
        }
        else{
            printf("%lld %lld\n",yi,er);
        }
    }
}