树的Hash方法？

写这篇博文的主要还是因为自己菜得抠脚…………

弱校联盟的十一专场的第三天是JAG Practice Contest for ACM-ICPC Asia Regional 2016，其中的E题大意是给一颗有根树，问有多少对子树每个深度的节点数都相同。从长春回来之后自己一直不是很在状态，错把题意当成了问有多少对子树完全同构，然后懵逼三个小时，事后去网上查找树同构的资料，回想起这题问的不是树同构，而是每个深度的节点数是否相同，尴尬死了。真的要好好反省一下。

单单思考这道题，看了网上别人的题解，大致思路很简单，就是用一个素数p给每个深度一个权值，根节点的权值为1，其每个子节点的权值为p，其子节点的子节点的权值就为p^2，然后一个树的hash值就是其所有子节点的权值之和。 可以确定的是：如果两棵树各个深度的节点个数都一样，毫无疑问这两棵树的hash值是一样的。而素数只要选择稍稍得当，就很难会出现两棵不相同的树的hash值相同。（其实这里不能主观臆想，应该要有一个严格的证明，但是我数学基础比较弱，而且没有相关的知识储备，暂且把前面这句话当做结论记一下，希望不会有错，自己以后知道了相关原理再回来补充）于是此题就可以通过dfs的方式求各个子树的值，用map标记后就可以求得解了。

题目链接： https://acm.bnu.edu.cn/v3/contest_show.php?cid=8504#problem/E

相关代码供参考：

为了防止hash值过大，用了unsigned long long进行了取模

#include

#include

#include

#include

#include

using namespace std;

#define MS(x,y) memset(x,y,sizeof(x))

typedef unsigned long long ULL;

typedef long long LL;

const int MAXN=1e5+5;

const int P=1e5+3;

struct Edge{

    int nxt,v;

}edge[MAXN];

int head[MAXN],edgenum;

void addedge(int u,int v){

    edge[edgenum].v=v;

    edge[edgenum].nxt=head[u];

    head[u]=edgenum++;

}

map M;

map::iterator it;

int n;

ULL dfs(int u){

    ULL ret=1;

    for(int i=head[u];~i;i=edge[i].nxt){

        ret+=P*dfs(edge[i].v);

    }

    M[ret]++;

    return ret;

}

int main(){

    while(~scanf("%d",&n)){

        MS(head,-1);

        edgenum=0;

        M.clear();

        int u,v;

        for(int i=1;i

            scanf("%d%d",&u,&v);

            addedge(u,v);

        }

        dfs(1);

        LL ans=0;

        for(it=M.begin();it!=M.end();++it){

            ans+=it->second*(it->second-1)/2;

        }

        printf("%lld\n",ans);

    }

}

然后如果这题问的是有几颗子树完全相同呢？这个问题又要通过什么方法来解决呢？

之前问题的解决方法显然行不通，07年国家集训队论文-杨弋《Hash在信息学竞赛中的一类应用》中，就有一个很简单的反例：

按照之前说的方法，很容易发现两棵不同构的树的hash值是相同的（明明是显而易见啊…………）

麻烦读者老爷自己去计算一下两棵树的值。

解决方法是什么呢？其实很简单，就是把每个树的值当做做一个平方，也就是说，一个数的hash值就是其所有子节点的平方和。请读者老爷再计算一下这两棵树的值，明显不同了。

再确定一件事： 如果两棵树是同构的，毫无疑问这两棵树的hash值是一样的。而素数只要选择稍稍得当，就很难会出现两棵不同构的树的hash值相同。

poj1635就是这样一道题： http://poj.org/problem?id=1635

相关代码供参考：

#include

#include

#include

using namespace std;

typedef long long LL;

const int MOD=1e9+7;

const int P=1e5+3;

char str1[3100],str2[3100];

char *str;

LL dfs(int dep){

    LL sum=1;

    while(*str&&*str++=='0')

        sum=(sum+P*dfs(dep+1))%MOD;

    return (sum*sum)%MOD;

}

int main(){

    int T;

    scanf("%d",&T);

    while(T--){

        scanf("%s%s", str1, str2);

        str=str1;

        LL a=dfs(1);

        str=str2;

        LL b=dfs(1);

        if(a==b) puts("same");

        else puts("different");

    }

}

国家队论文里还提到了一个类似的方法，每次随机生成一些数，作为每个节点的权值，然后和上面方法返回权值的平方。可以看看这篇博客： http://www.cnblogs.com/jackiesteed/articles/2065307.html（其实我poj1635的代码就是看了这篇博客后码的……）