Slow Feature Analysis（SFA）模型

（一）简介

1.缓慢变化原则是人类大脑视觉皮层感受野中的一种计算原则；所谓的缓慢变化原则指的是，当环境发生缓慢变化时，例如物体纹理的一个小小的移动将可能引起光照强度的快速变化，从而导致人眼接收神经元接收到快速变化的信号；假如我们能够成功地从这些快速变化的信号中提取出缓慢变化的特征，那么就能够相应地得出环境的某种缓慢变化特性；

2.根据示意图可以知道，在视频序列中，点P1,P2,P3在时间上的像素值变化是快速变化的，很难直观观察得到其中的规律；然而在高层语义信息上可以知道，在时间上视频内容是缓慢变化的，由鼓掌动作慢慢变为挥手动作进而变成慢跑动作；

（二）数学定义

1.数学上，SFA可以定义如下，给定一个 I 维的输入信号：

其中 t 代表着时间，SFA的目的是找出一套输入输出函数：

 使得J维输出信号： 

在时间上尽可能地变化缓慢；公式如下：

2.上述公式中其中“。”表示的是y的一阶梯度，<> 表示的是y在时间上的均值；公式（1）表示的是最小化输出信号在时间上的变化程度，时间上信号的变化主要由一阶梯度的平方的均值来衡量；公式（2）是为了使公式（3）（4）有一个比较简单的表达形式。其中公式（3）是为了限制输出信号的每一维都携带信息量，防止y = 常数；公式（4）是为 了保证输出信号的不同维度携带不同的信息，同时也反映维度之间的一个次序关系，其中第一个维度就是变化最缓慢的维度，第二个维度就是变化第二缓慢的维度，以此类推；

3.假设输入输出函数可以表示为：

那么有：

等价于：

4.为求解W，使用广义特征值分解的方法：

对进行广义特征值分解，取前 J  个特征值比较小对应的特征向量；

PS：参考文献

Slow Feature Analysis for Human Action Recognition