【学习笔记】差分约束系统+可并堆

这两个东西没什么关系，纯属凑篇幅

差分约束系统

差分约束系统就是给出一些形如x-y<=w不等式的约束，问你是否有满足问题的解，或者求最小，最大解。

这个问题的神奇之处是可以转化为图论的最短路问题。

所以我们需要用到的知识：
最短路径（主要是spfa）

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其实看到不等式，我们也可以想起最短路中的一个叫松弛操作的东西：

d[u]+w(u,v)<d[v] d [ u ] + w ( u , v ) < d [ v ]

对比上面的不等式，两个不等式的不等号正好相反，但是再仔细一想，其实它们的逻辑是一致的，因为SPFA的松弛操作是在满足小于的情况下进行松弛，所以我们可以将每个不等式转化成图上的有向边：

对于每个不等式 x[i]−x[j]<=a[k] x [ i ] − x [ j ] <= a [ k ] ，对结点 j j 和 i i 建立一条 j−>i j − > i 的有向边，边权为 a[k] a [ k ] ，求 x[n−1]−x[0] x [ n − 1 ] − x [ 0 ] 的最大值就是求 0 0 到 n−1 n − 1 的最短路。
当然，如果求最小值呢？看下面啦：

关于建图：
如果给出的不等式有”<=”也有”>=”，又该如何解决呢？
很明显，首先需要关注最后的问题是什么，如果需要求的是两个变量差的最大值，那么需要将所有不等式转变成”<=”的形式，建图后求最短路；相反，如果需要求的是两个变量差的最小值，那么需要将所有不等式转化成”>=”，建图后求最长路。

如果有形如：A - B = c 这样的等式呢？我们可以将它转化成以下两个不等式：

A - B >= c (1)
A - B <= c (2)

再通过上面的方法将其中一种不等号反向，建图即可。
最后，如果这些变量都是整数域上的，那么遇到A - B < c这样的不带等号的不等式，我们需要将它转化成”<=”或者”>=”的形式，即 A - B <= c - 1。

大概就是这样的了。
例题很多，比如最近我做的CCPC-FINAL里面就有一道。
一般来说比较裸吧。

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可并堆

关于可并堆，只简单学习了左偏树和斜堆。
fib堆看起来比较复杂，以后再系统学习吧。
学习资料可以看《左偏树的特点及其应用》
不想下载的看这个博客，博主是转载的。

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左偏树

由于我不是很想写自己的理解，贴一下文章里的吧。
以下均为转载

关于左偏树的性质

[性质1] 节点的键值小于或等于它的左右子节点的键值。

即 key(i)≤key(parent(i)) k e y ( i ) ≤ k e y ( p a r e n t ( i ) ) 这条性质又叫堆性质。符合该性质的树是堆有序的 (Heap−Ordered) ( H e a p − O r d e r e d ) 。有了性质1，我们可以知道左偏树的根节点是整棵树的最小节点，于是我们可以在 O(1) O ( 1 ) 的时间内完成取最小节点操作。

[性质2] 节点的左子节点的距离不小于右子节点的距离。

即 dist(left(i))≥dist(right(i)) d i s t ( l e f t ( i ) ) ≥ d i s t ( r i g h t ( i ) ) 这条性质称为左偏性质。性质2是为了使我们可以以更小的代价在优先队列的其它两个基本操作（插入节点、删除最小节点）进行后维持堆性质。在后面我们就会看到它的作用。

这两条性质是对每一个节点而言的，因此可以简单地从中得出，左偏树的左右子树都是左偏树。

由这两条性质，我们可以得出左偏树的定义：左偏树是具有左偏性质的堆有序二叉树。

[性质3] 节点的距离等于它的右子节点的距离加1。

即 dist(i)=dist(right(i))+1 d i s t ( i ) = d i s t ( r i g h t ( i ) ) + 1 外节点的距离为0，由于性质2，它的右子节点必为空节点。为了满足性质3，故前面规定空节点的距离为-1。

我们的印象中，平衡树是具有非常小的深度的，这也意味着到达任何一个节点所经过的边数很少。左偏树并不是为了快速访问所有的节点而设计的，它的目的是快速访问最小节点以及在对树修改后快速的恢复堆性质。从图中我们可以看到它并不平衡，由于性质2的缘故，它的结构偏向左侧，不过距离的概念和树的深度并不同，左偏树并不意味着左子树的节点数或是深度一定大于右子树。

下面我们来讨论左偏树的距离和节点数的关系。

[引理1] 若左偏树的距离为一定值，则节点数最少的左偏树是完全二叉树。

证明：由性质2可知，当且仅当对于一棵左偏树中的每个节点i，都有 dist(left(i))=dist(right(i)) d i s t ( l e f t ( i ) ) = d i s t ( r i g h t ( i ) ) 时，该左偏树的节点数最少。显然具有这样性质的二叉树是完全二叉树。

[定理1] 若一棵左偏树的距离为k，则这棵左偏树至少有 2k+1−1 2 k + 1 − 1 个节点。

证明：由引理1可知，当这样的左偏树节点数最少的时候，是一棵完全二叉树。距离为k的完全二叉树高度也为k，节点数为 2k+1−1 2 k + 1 − 1 ，所以距离为k的左偏树至少有 2k＋1−1 2 k ＋ 1 − 1 个节点。

作为定理1的推论，我们有：

[性质4] 一棵N个节点的左偏树距离最多为 ëlog(N+1)û−1。 ë l o g ( N + 1 ) û − 1 。

证明：设一棵N个节点的左偏树距离为k，由定理1可知， N≥2k+1−1 N ≥ 2 k + 1 − 1 ，因此 k≤ëlog(N+1)û−1 k ≤ ë l o g ( N + 1 ) û − 1 。

左偏树的合并

C←Merge(A,B) C ← M e r g e ( A , B )

Merge()把A,B两棵左偏树合并，返回一棵新的左偏树C，包含A和B中的所有元素。在本文中，一棵左偏树用它的根节点的指针表示。 M e r g e ( ) 把 A , B 两 棵 左 偏 树 合 并 ， 返 回 一 棵 新 的 左 偏 树 C ， 包 含 A 和 B 中 的 所 有 元 素 。 在 本 文 中 ， 一 棵 左 偏 树 用 它 的 根 节 点 的 指 针 表 示 。

在合并操作中，最简单的情况是其中一棵树为空（也就是，该树根节点指针为NULL）。 在 合 并 操 作 中 ， 最 简 单 的 情 况 是 其 中 一 棵 树 为 空 （ 也 就 是 ， 该 树 根 节 点 指 针 为 N U L L ） 。
这时我们只须要返回另一棵树。

若 A和B A 和 B 都非空，我们假设 A A 的根节点小于等于 B B 的根节点（否则交换 A,B A , B ），把 A A 的根节点作为新树 C C 的根节点，剩下的事就是合并A的右子树 right(A)和B r i g h t ( A ) 和 B 了。

right(A)←Merge(right(A),B) r i g h t ( A ) ← M e r g e ( r i g h t ( A ) , B )

合并了right(A)和B之后，right(A)的距离可能会变大，当right(A)的距离大于left(A)的距离时，左偏树的性质2会被破坏。在这种情况下，我们只须要交换left(A)和right(A)。 合 并 了 r i g h t ( A ) 和 B 之 后 ， r i g h t ( A ) 的 距 离 可 能 会 变 大 ， 当 r i g h t ( A ) 的 距 离 大 于 l e f t ( A ) 的 距 离 时 ， 左 偏 树 的 性 质 2 会 被 破 坏 。 在 这 种 情 况 下 ， 我 们 只 须 要 交 换 l e f t ( A ) 和 r i g h t ( A ) 。

若dist(left(A))>dist(right(A))，交换left(A)和right(A) 若 d i s t ( l e f t ( A ) ) > d i s t ( r i g h t ( A ) ) ， 交 换 l e f t ( A ) 和 r i g h t ( A )

最后，由于 right(A) r i g h t ( A ) 的距离可能发生改变，我们必须更新A的距离：

dist(A)←dist(right(A))+1 d i s t ( A ) ← d i s t ( r i g h t ( A ) ) + 1

不难验证，经这样合并后的树C符合性质1和性质2，因此是一棵左偏树。至此左偏树的合并就完成了。

插入新节点

单节点的树一定是左偏树，因此向左偏树插入一个节点可以看作是对两棵左偏树的合并。下面是插入新节点的代码：

Procedure Insert(x, A)

   B ← MakeIntoTree(x)

   A ← Merge(A, B)

End Procedure

由于合并的其中一棵树只有一个节点，因此插入新节点操作的时间复杂度是 O(logn) O ( l o g n ) 。

删除最小节点

由性质1，我们知道，左偏树的根节点是最小节点。在删除根节点后，剩下的两棵子树都是左偏树，需要把他们合并。删除最小节点操作的代码也非常简单：

Function DeleteMin(A)

   t ← key(root(A))

   A ← Merge(left(A), right(A))

   return t

End Function

由于删除最小节点后只需进行一次合并，因此删除最小节点的时间复杂度也为 O(logn) O ( l o g n ) 。

左偏树的构建

将n个节点构建成一棵左偏树，这也是一个常用的操作。

【算法一 】 暴力算法——逐个节点插入，时间复杂度为 O(nlogn) O ( n l o g n ) 。

【算法二 】 仿照二叉堆的构建算法，我们可以得到下面这种算法：

• 将n个节点（每个节点作为一棵左偏树）放入先进先出队列。
• 不断地从队首取出两棵左偏树，将它们合并之后加入队尾。
• 当队列中只剩下一棵左偏树时，算法结束。

时间复杂度 O(n) O ( n )

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关于斜堆

这是一个每次合并都交换左右孩子的算法。
合并大概就是：

• 如果一个空斜堆与一个非空斜堆合并，返回非空斜堆。
• 如果两个斜堆都非空，那么比较两个根节点，取较小堆的根节点为新的根节点。将”较小堆的根节点的右孩子”和”较大堆”进行合并。
• 合并后，交换新堆根节点的左孩子和右孩子。

总之个人感觉很玄学。
好fake的数据结构啊