【线性代数/生成函数推导】CF947E Perpetual Subtraction

【题目】
CF
初始有一个数字$x\in [0,n]$，给出它取每一个值的概率。接下来进行$m$轮游戏，每轮游戏等概率选择一个数$y\in [0,x]$，然后令$x=y$，求最终$x=0\dots n$每个值的概率分别是多少，答案对$998244353$取模。
$n\le 10^5,m\le 10^{18}$

【解题思路】
首先写出一个朴素的$\text{DP}$，令$f_{i,j}$表示到第$i$轮，数字为$j$的概率，那么有：
$$f_{i,j}=\sum _{k=i}^n\frac{f_{i-1,k}}{k+1}$$
将这个东西写成转移矩阵的形式，可以发现这是一个上三角矩阵，且系数十分优美，第$i$列的非零元素为$\frac{1}{i}$，共$n+1$列。

然后我们也可以很轻松地得到矩阵的特征根方程和其特征根，即：
$$f(\lambda )=\prod _{i=1}^{n+1}(\lambda -\frac{1}{i})$$
于是可以大概通过常系数线性递推做到$O(n^2\log n)$吧。

不会线代的我滚粗了。

上面当我什么都没写吧。我们考虑令$f_i$的生成函数为$F(x)$，$f_{i+1}$的生成函数为$\hat{F}(x)$则有：
$$F(x)=\sum _{i=0}^n{f}_i{x}_i$$
$$\begin{array}{rl}\hat{F}(x)=& \sum _{i=0}^n{x}^i\sum _{j=i}^n\frac{f_j}{j+1}\\ =& \sum _{j=0}^n\frac{f_j}{j+1}\sum _{i=0}^j{x}^i\\ =& \sum _{j=0}^n\frac{f_j}{j+1}\cdot \frac{x^{j+1}-1}{x-1}\\ =& \frac{1}{x-1}\sum _{j=0}^n{f}_j{\int }_1^x{t}^j\mathrm{d}t\\ =& \frac{{\int }_1^{x}F(t)\mathrm{d}t}{x-1}\end{array}$$
这个形式并不那么优美，于是令$G(x)=F(x+1)$，则有：
$$\frac{{\int }_1^{x+1}F(t)\mathrm{d}t}{x+1-1}\Rightarrow \frac{{\int }_0^{x}G(t)\mathrm{d}t}{x}$$
好像就很优美了，可以发现${\hat{g}}_i=\frac{g_i}{i+1}$，那么实际上就是每个位置乘了一个快速幂而已。
接下来考虑$f,g$的关系，我们有：
$$\sum _{i=0}^n{g}_i{x}^i=\sum _{i=0}^n{f}_i(x+1{)}^i=\sum _{i=0}^n{f}_i\sum _{j=0}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{i}{j})x^j$$
比较系数后可以得到：
$$g_i=\sum _{j=i}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i}\right)f_j$$
然后二项式反演一下：
$$f_i=\sum _{j=i}^n(-1{)}^{j-i}(\genfrac{}{}{0ex}{}{j}{i})g_j$$
上面两个东西将系数拆开以后移下项就是一个卷积的形式了，以第二个为栗子：
$$i!f_i=\sum _{j=i}^n\frac{(-1{)}^{j-i}}{(j-i)!}j!g_j$$
这个东西怎么卷呢？一种很优秀的方式是考虑对应位置。比如上面这个东西，我们设$j-i$的部分是$A$，$j$的部分是$B$。那么先看第$n$项的对应，那么第$n$项是由$A$的第$0$个位置和$B$的第一个位置相乘贡献的。第$n-1$项是由$A$的第$1$个位置和$B$的第$n$个位置，$A$的第$0$个位置和$B$的第$n-1$个位置贡献。也就是说是一个小对应小，大对应大的卷积，我们需要将一个部分翻转。

将$A$翻转后将$A,B$进行卷积，再看贡献到的位置，不难发现原来第$n$项到了$2n$的位置，第$n-1$项到了$2n-1$的位置。于是将数组向左平移$n$位即是答案了。

那么我们就根据上面两条柿子，先用初始的$f_0$求出$g_0$，然后对$g$的每一位乘个快速幂，再用$g_m$求出$f_m$即可。

复杂度$O(n\log n)$

【参考代码】

#include
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N=262333,mod=998244353,G=3;

namespace IO
{
	ll read()
	{
		ll ret=0;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)) c=getchar();
		while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
		return ret;
	}
	void write(int x){if(x>9)write(x/10);putchar(x%10^48);}
	void writesp(int x){write(x);putchar(' ');}
}
using namespace IO;

namespace Math
{
	int inv[N],fac[N],ifac[N];
	int upm(int x){return x>=mod?x-mod:(x<0?x+mod:x);}
	void up(int &x,int y){x=upm(x+y);}
	int mul(int x,int y){return 1ll*x*y%mod;}
	ll qpow(ll x,ll y){ll res=1;for(;y;y>>=1,x=x*x%mod)if(y&1)res=res*x%mod;return res;}
	ll getinv(int x){return qpow(x,mod-2);}
	void initmath()
	{
		inv[0]=inv[1]=1;for(int i=2;i<N;++i) inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
		fac[0]=1;for(int i=1;i<N;++i) fac[i]=mul(fac[i-1],i);
		ifac[N-1]=getinv(fac[N-1]);for(int i=N-2;~i;--i)ifac[i]=mul(ifac[i+1],i+1);
	}
	int m,L,rev[N];
	void ntt(int *a,int n,int op)
	{
		for(int i=0;i<n;++i) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);
		for(int i=1;i<n;i<<=1)
		{
			int wn=qpow(G,(mod-1)/(i<<1));
			if(!~op) wn=getinv(wn);
			for(int j=0;j<n;j+=i<<1)
			{
				int w=1;
				for(int k=0;k<i;++k,w=mul(w,wn))
				{
					int x=a[j+k],y=mul(w,a[i+j+k]);
					a[j+k]=upm(x+y);a[i+j+k]=upm(x-y);
				}
			}
		}
		if(!~op)for(int i=0,iv=getinv(n);i<n;++i)a[i]=mul(a[i],iv);
	}
	void reget(int n)
	{
		for(m=1,L=0;m<n;m<<=1,++L);
		for(int i=0;i<m;++i) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(L-1));
	}
	void polymult(int *a,int *b,int *c,int dega,int degb)
	{
		static int A[N],B[N];
		reget(dega+degb-1);copy(a,a+dega,A);copy(b,b+degb,B);
		ntt(A,m,1);ntt(B,m,1);
		for(int i=0;i<m;++i) A[i]=mul(A[i],B[i]);
		ntt(A,m,-1);
		copy(A,A+dega+degb-1,c);fill(c+dega+degb-1,c+m,0);fill(A,A+m,0);fill(B,B+m,0);
	}
}
using namespace Math;

namespace DreamLolita
{
	int n;ll m;
	int p[N],f[N],g[N],h[N];
	void solution()
	{
		initmath();n=read();m=read();
		for(int i=0;i<=n;++i) p[i]=read();
		for(int i=0;i<=n;++i) h[i]=ifac[i],f[i]=mul(p[i],fac[i]);
		reverse(h,h+n+1);
		polymult(h,f,g,n+1,n+1);
		for(int i=0;i<=n;++i) g[i]=mul(g[i+n],ifac[i]),f[i]=0;
		for(int i=n+1;i<=n*2;++i) g[i]=0,f[i]=0;
		for(int i=0;i<=n;++i) g[i]=mul(mul(g[i],(int)qpow(inv[i+1],m)),fac[i]);
		for(int i=0;i<=n;++i) h[i]=mul(h[i],(n-i)&1?mod-1:1);
		polymult(g,h,f,n+1,n+1);
		for(int i=0;i<=n;++i) f[i]=mul(f[i+n],ifac[i]);
		for(int i=0;i<=n;++i) writesp(f[i]);
	}
}

int main()
{
#ifdef Durant_Lee
	freopen("CF947E.in","r",stdin);
	freopen("CF947E.out","w",stdout);
#endif
	DreamLolita::solution();
	return 0;
}