神奇的根号--莫队算法

神奇的根号–莫队算法

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莫队这个根号我觉得是比分块灵活的，就在于他有许多的方式

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0.先决条件

莫队的先决条件，在我看来就是两个
1：可以从区间 [l,r] [ l , r ] 快速转移到 [l,r+1][l,r−1][l+1,r][l−1,r] [ l , r + 1 ] [ l , r − 1 ] [ l + 1 , r ] [ l − 1 , r ]
2：时间允许 O(n∗sqrt(n)) O ( n ∗ s q r t ( n ) )

1.普通莫队

简单莫队 。
因为我们可以发现我们从 [l,r] [ l , r ] 转移到 [l1,r1] [ l 1 , r 1 ] 的次数是 abs(l1−l)+abs(r1−r) a b s ( l 1 − l ) + a b s ( r 1 − r ) ，像极了曼哈顿距离，所以我们把每一个关于区间的询问抽象成二维平面上的点，然后用根号为块的大小进行询问的划分（证明网上一大堆），因为每次改变左、右端点是 O(1) O ( 1 ) 这样我们就可以简单期望效率是 O(n∗sqrt(n)) O ( n ∗ s q r t ( n ) )
板子题也是一大堆，这里不列举

2.带修莫队

不是那么简单的莫队。
考虑当我们的操作加入了修改？我们应该怎么办？
修改操作是不和谐的，因为修改相当于是在本来的二维平面上强行有添加了一个维度，所以我们只有给每个询问或者秀改操作加上时间标记，当我们执行修改的事就就可以跳到当前我们的时间，这样我们就可以进行维护了，但是我们发现在这种情况下块的大小不是最优的，所以我们把块的大小调整为 n2/3 n 2 / 3 。
这里给出复杂度为 n5/3 n 5 / 3 的简单证明：
当左右端点所在块不变时，询问是按时间排序的，因此询问的时间不降，所以时间指针只会向后移动 n n 步，而左右两端点改变时时间指针最坏情况下会一次向前移动 n n 步。而由于左右两端点所在块的种类组合起来只有 n2/3 n 2 / 3 种，且每种组合中，时间指针只会向后移动 n n 步；取值改变也只有 n2/3 n 2 / 3 次，时间指针每次向前移动 n n 步，时间指针的总复杂度即为 n5/3 n 5 / 3 。
左右端点所在块不变时，右指针一次移动最多 n2/3 n 2 / 3 步，由于有 n n 次询问，所以这里的复杂度不超过 n5/3 n 5 / 3 。而当左端点所在块不变，右端点所在块改变时，右指针就不会往回移动到前一个块中，因此左端点所在块不变，由于右端点所在块改变所带来的的移动的复杂度不超过 n n ，而总共有 n1/3 n 1 / 3 种左端点所在块取值，所以这里的复杂度不超过 n4/3 n 4 / 3 ，而当左端点所在块改变时，右指针最坏是一次移动 n n 步，与之前类似，总共有 n1/3 n 1 / 3 种左端点所在块取值，所以这里的复杂度不超过 n4/3 n 4 / 3 。右指针总时间复杂度为 n5/3 n 5 / 3 。
左端点所在块不变时，左指针一次移动最多 n2/3 n 2 / 3 步，由于有 n n 次询问，所以这里的复杂度不超过 n5/3 n 5 / 3 。当左端点所在块改变时，由于排序是按左端点所在块为第一关键字，所以之后左指针就不会移动回前一个块，因此这种情况下的左指针移动带来的总复杂度不超过 n n ，左指针总时间复杂度也为 n5/3 n 5 / 3
综上，这个拓展的做法的总时间复杂度即为 n5/3 n 5 / 3

模板：BZOJ2120

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3.树上莫队

建成树的莫队。
有时我们所处理的问题并不为序列上的区间问题，而是树上的路径。那么实际上我们也可以把莫队算法拓展到树上，即树上莫队。
核心思想依旧没变，因此我们需要考虑的仍是如何将询问排序。而常用方法则是将树上的点标号，使其变为序列，然后用普通的莫队算法解决。
解决时唯一不同的则是原来序列上用的是左右指针移动，现在树上这个方法不太好用，因为左边或右边可能都与当前位置节点不相邻，并不是我们需要维护的路径上的东西。
所以我们应该怎么办？
观察后可以发现：
而从 (u1,v1) ( u 1 , v 1 ) 转移到 (u2,v2) ( u 2 , v 2 ) 我们需要把 (u1,u2) ( u 1 , u 2 ) 路径上除了 lca(u1,u2) l c a ( u 1 , u 2 ) 之外的点在答案中的状态取反，把 (v1,v2) ( v 1 , v 2 ) 路径上除了 lca(v1,v2) l c a ( v 1 , v 2 ) 之外的点在答案中的状态取反。通过画图或者简单推导我们能现在，这么做后，剩下的在答案中的点，都在 (u2,v2) ( u 2 , v 2 ) 它们之间的除去lca之外的路径上。
复杂度证明真不会，可以参见vfk博客中的证明。

对点进行标号的方法一般有两种：
1.我们DFS 这棵树，同时记录下它们的入栈出栈序，对这个序列进行分块
2.对树分块（对树进行DFS，每个点出栈后将其放进队列，当队列里的点超过B 个时将这些点分为一块）

个人偏爱第二种

模板题BZOJ3052，树上带修莫队，代码丢失了。。。。

//qwq

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4.回滚莫队

科技莫队。
跟yyf大佬学的。dalao blog
在莫队转移过程中，如果我们发现删除操作不好进行，那么我们就可以用回滚莫队技巧来回避掉删除操作
我们在左端点 blocki b l o c k i 中的所有讯问，容易发现右端点是单调不减的，所以我们可以每次都把左端点从 blocki b l o c k i 的右端点向前跑，然后右端点直接向后跑就可以了。注意在这里先跑右端点记录下左端点在 blocki b l o c k i 的右端点的答案方便后面的计算。
然后考虑特殊情况，如果一个询问左右端点在同一区间，暴力跑过去就好了，时间效率上限是块的大小。如果一个询问左端点所在的块不等于上一个询问的左端点所在块，即进入了一个新的块，我们直接从这个询问的l跑到r记录答案就好了，单次 O(n) O ( n ) ，因为块数为 sqrt(n) s q r t ( n ) ，所以时间上线还是 O(nsqrt(n)) O ( n s q r t ( n ) )

模板题直接看今天的考试题好了。。
或者BZOJ4241也行