2018.09.07 bzoj1911: [Apio2010]特别行动队（斜率优化dp）

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斜率优化dp经典题。
题目中说的很清楚，设f[i]表示前i个数分配出的最大值。
那么有：
f[i]=max(f[j]+A∗(sum[i]−sum[j])2+B∗(sum[i]−sum[j])+C) f [ i ] = m a x ( f [ j ] + A ∗ ( s u m [ i ] − s u m [ j ] ) 2 + B ∗ ( s u m [ i ] − s u m [ j ] ) + C )
=>
f[i]=max(f[j]+A∗sum[j]2−2∗A∗sum[i]∗sum[j]−B∗sum[j])+A∗sum[i]2+B∗sum[i]+C f [ i ] = m a x ( f [ j ] + A ∗ s u m [ j ] 2 − 2 ∗ A ∗ s u m [ i ] ∗ s u m [ j ] − B ∗ s u m [ j ] ) + A ∗ s u m [ i ] 2 + B ∗ s u m [ i ] + C
同样是比较两个决策k1,k2如果k1优于k2，那么：
f[k1]+A∗sum[k1]2−2∗A∗sum[i]∗sum[k1]−B∗sum[k1] f [ k 1 ] + A ∗ s u m [ k 1 ] 2 − 2 ∗ A ∗ s u m [ i ] ∗ s u m [ k 1 ] − B ∗ s u m [ k 1 ]
>
f[k2]+A∗sum[k2]2−2∗A∗sum[i]∗sum[k2]−B∗sum[k2]) f [ k 2 ] + A ∗ s u m [ k 2 ] 2 − 2 ∗ A ∗ s u m [ i ] ∗ s u m [ k 2 ] − B ∗ s u m [ k 2 ] )
为了让每次查询的斜率单调递增。
我们需要巧妙地移项：
令 t[k]=f[k]+A∗sum[k]2−B∗sum[k] t [ k ] = f [ k ] + A ∗ s u m [ k ] 2 − B ∗ s u m [ k ]
=> (t[k1]−t[k2])>2∗A∗sum[i]∗(sum[k1]−sum[k2]) ( t [ k 1 ] − t [ k 2 ] ) > 2 ∗ A ∗ s u m [ i ] ∗ ( s u m [ k 1 ] − s u m [ k 2 ] )
=> slope(k1,k2)/A<2∗sum[i] s l o p e ( k 1 , k 2 ) / A < 2 ∗ s u m [ i ]
搞定了。
代码：

#include
#define ll long long
#define N 1000005
using namespace std;
inline ll read(){
    ll ans=0,w=1;
    char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')w=-1;ch=getchar();}
    while(isdigit(ch))ans=(ans<<3)+(ans<<1)+(ch^48),ch=getchar();
    return ans*w;
}
int n,q[N],hd,tl;
ll A,B,C,sum[N],f[N];
inline double slope(int i,int j){return 1.0*(sum[i]+sum[j])+(1.0*(f[i]-f[j])/(sum[i]-sum[j])-B)*1.0/A;}
int main(){
    n=read(),A=read(),B=read(),C=read(),hd=tl=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)sum[i]=sum[i-1]+read();
    for(int i=1;i<=n;++i){
        while(hdq[hd+1],q[hd])<2*sum[i])++hd;
        int j=q[hd];
        f[i]=f[j]+A*(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j])+B*(sum[i]-sum[j])+C;
        while(hdq[tl])q[tl],q[tl-1]))--tl;
        q[++tl]=i;
    }
    cout<return 0;
}