第二类斯特林数小结
第二类斯特林数
s 2 n m s2_n^m s2nm表示将 n n n个数放进 m m m个集合的方案数。
有一个显然的递推式：
s 2 n m = s 2 n − 1 m − 1 + m ∗ s 2 n − 1 m s2_n^m=s2_{n-1}^{m-1}+m*s2_{n-1}^m s2nm=s2n−1m−1+m∗s2n−1m，对应的意义：要么第 n n n个单独构成一个新的集合，要么放在之前某个集合中。
然而第二类斯特林数并没有什么生成函数。
但它可以花 O ( n l o g n ) O(nlogn) O(nlogn)的时间预处理出来。
我们考虑用容斥原理来推第二类斯特林数的通项公式，假设现在求 s 2 i j s2_i^j s2ij强制枚举 k k k个集合为空来计算贡献。
于是 s 2 i j = ∑ k = 0 j C j k ( j − k ) i ( − 1 ) k j ! s2_i^j=\frac{\sum_{k=0}^jC_j^k(j-k)^i(-1)^k}{j!} s2ij=j!∑k=0jCjk(j−k)i(−1)k
然后整理一下右边变成 ∑ k = 0 j ( − 1 ) k k ! ( j − k ) i ( j − k ) ! \sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k)^i}{(j-k)!} ∑k=0jk!(−1)k(j−k)!(j−k)i
于是就可以上 n t t ntt ntt优化了。
一道板题：bzoj4555: [Tjoi2016&Heoi2016]求和
题意：要求计算
S(i, j)表示第二类斯特林数。
思路：
先改变枚举顺序：
⇒ ∑ j = 0 n 2 j j ! ∑ i = j n s 2 i j = ∑ j = 0 n 2 j j ! ∑ i = 0 n s 2 i j \Rightarrow \sum_{j=0}^n2^jj!\sum_{i=j}^ns2_i^j=\sum_{j=0}^n2^jj!\sum_{i=0}^ns2_i^j ⇒∑j=0n2jj!∑i=jns2ij=∑j=0n2jj!∑i=0ns2ij
然后带入斯特林数的通项公式：
= ∑ j = 0 n 2 j j ! ∑ i = 0 n ∑ k = 0 j ( − 1 ) k k ! ( j − k ) i ( j − k ) ! =\sum_{j=0}^n2^jj!\sum_{i=0}^n\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{(j-k)^i}{(j-k)!} =∑j=0n2jj!∑i=0n∑k=0jk!(−1)k(j−k)!(j−k)i
= ∑ j = 0 n 2 j j ! ∑ k = 0 j ( − 1 ) k k ! ∑ i = 0 n ( j − k ) i ( j − k ) ! =\sum_{j=0}^n2^jj!\sum_{k=0}^j\frac{(-1)^k}{k!}\frac{\sum_{i=0}^n(j-k)^i}{(j-k)!} =∑j=0n2jj!∑k=0jk!(−1)k(j−k)!∑i=0n(j−k)i
于是构造 f ( x ) = ( − 1 ) x x ! , g ( x ) = ∑ i = 0 n x i x ! = x n + 1 − 1 x ! ( x − 1 ) f(x)=\frac{(-1)^x}{x!},g(x)=\frac{\sum_{i=0}^nx^i}{x!}=\frac{x^{n+1}-1}{x!(x-1)} f(x)=x!(−1)x,g(x)=x!∑i=0nxi=x!(x−1)xn+1−1
然后 A n s = ∑ j = 0 n 2 j j ! ( f ∗ g ) ( j ) Ans=\sum_{j=0}^n2^jj!(f*g)(j) Ans=∑j=0n2jj!(f∗g)(j)
做完啦！
代码：
#include