[APIO2017]商旅(01分数规划,SPFA)

Description

题目描述
一个图有 n n 个点 m m 条单向边，每条边有其固定的长度（时间消耗）
有 k k 种物品，在每个点可以买或者卖某些物品，不同的点价格可能不同，
同一时间只能保留一个物品在身上问盈利效率最高的环的效率是多少？

Solution

题目要求最小的 k k ，满足

总收益总代价⩽k 总 收 益 总 代 价 ⩽ k

即

总收益−总代价×k⩽0 总 收 益 − 总 代 价 × k ⩽ 0

所以二分 k k 值并判断。

首先假设每个点有一个虚拟的物品，这个物品在任意地点的买卖代价为 0 0 ，那么路径中每时每刻都会携带一个物品。

然后求出每个点对间的最大收益 wi,j w i , j 和最短耗时 di,j d i , j 。对任意两个点连边，边权为 di,j×mid−wi,j d i , j × m i d − w i , j 。

每次判断图中有没有负环即可。

#include 
using namespace std;

const double eps = 1e-6;
const int maxn = 105, maxp = 1005;
int n, m, p, b[maxp][maxp], s[maxp][maxp], d[maxn][maxn], w[maxn][maxn];

struct edge {
    int to, next;
    double w;
}e[maxn * maxn];
int h[maxn], tot;

inline void add(int u, int v, double w)
{
    e[++tot] = (edge) {v, h[u], w};
    h[u] = tot;
}

double dis[maxn];
queue<int> que;
int vis[maxn], cnt[maxn];
inline bool check(double x)
{
    memset(h, 0, sizeof(h)); tot = 0;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            if (d[i][j] < 1e9 && i != j) add(i, j, d[i][j] * x - w[i][j]);

    for (int i = 1; i <= n; ++i) dis[i] = 0, que.push(i), vis[i] = 1, cnt[i] = 1;

    while (!que.empty()) {
        int u = que.front(); que.pop(); vis[u] = false;
        if (cnt[u] > n) return 1;
        for (int i = h[u], v; v = e[i].to, i; i = e[i].next)
            if (dis[v] > dis[u] + e[i].w) {
                dis[v] = dis[u] + e[i].w;
                if (!vis[v]) {
                    vis[v] = 1; que.push(v); ++cnt[v];
                }
            }
    }

    return 0;
}

int main()
{
    freopen("merchant1.in", "r", stdin);
    freopen("merchant.out", "w", stdout);
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &p);

    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        for (int j = 1; j <= p; ++j)
            scanf("%d%d", &b[i][j], &s[i][j]);
    ++p;

    memset(d, 63, sizeof(d));
    for (int u, v, w, i = 1; i <= m; ++i)
        scanf("%d%d%d", &u, &v, &w), d[u][v] = w;

    for (int i = 1; i <= n; ++i) d[i][i] = 0;
    for (int k = 1; k <= n; ++k)
        for (int i = 1; i <= n; ++i)
            for (int j = 1; j <= n; ++j)
                if (d[i][k] + d[k][j] < d[i][j])
                    d[i][j] = d[i][k] + d[k][j];

    for (int i = 1; i <= n; ++i) 
        for (int j = 1; j <= n; ++j)
            for (int k = 1; k <= p; ++k)
                if (s[j][k] != -1 && b[i][k] != -1) w[i][j] = max(w[i][j], s[j][k] - b[i][k]);

    double l = 0, r = 1e9;
    while (r - l > eps) {
        double mid = (l + r) / 2.;
        if (check(mid)) l = mid;
        else r = mid;
    }

    printf("%d\n", (int)r);

    return 0;
}