Linear Algebra - Lesson 1. 方程组的集合解释

Introduction

课程代码 : MIT 18.06
课程配套教材 : Introduction to Linear Algebra
课程在线网址 : web.mit.edu/18.06
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N linear equations, N unknows - 方程式组和矩阵

方程式组和矩阵之间存在天然的联系. 即方程式组可以用矩阵的形式很优雅的表达出来.
举一个简单的方程式组的例子 : {2x−y=0−x+y=3
可以将未知变量的系数看作矩阵的元素,从而将原始方程式组转换为矩阵的形式表达出来, 如下所示 :

[2−1−12]∗[xy]=[03]

这里,我们将 [2−1−12] 看作是矩阵 A , 将 [xy] 看作是向量(Vector) X , 那么结果 [03] 就是向量 b , 从而得出 A∗X=b
矩阵 A ,也被成为 系数矩阵(coefficient matrix).
所以, 正如老师所说,

A matrix is just a rectangular array of numbers.

Row Picture - 矩阵的行图像

Row Picture, 也就是从行的角度来考虑矩阵内在的含义.
以上面的方程式组为例, 对于方程式(1) 2x−y=0 可以通过假设 x=0 和 x=1 分别得出y的对应值为 y=0 和 y=2 . 即可以以 (0,0) 和 (1,2) 为线上两点确认方程式(1)在 x,y 平面上的直线. 同理可得方程式(2)在平面上所代表的线. 通过图像可以看出, 两条线条交于一点 (1,2) .

Column Picture - 矩阵的列图像

从列的角度来看,上述方程式组可以看做列的线性组合(linear combination of columns)

x[2−1]+y[−12]=[03]

现在从二维转换为三维, 有如下方程组:

2x−y=0−x+2y−z=−1−3y+4z=4

同理可以得出对应的矩阵 A 和向量 b : A=⎡⎣⎢2−10−12−30−14⎤⎦⎥ b=⎡⎣⎢0−14⎤⎦⎥
同样,从column picture的角度来看上述方程式组,得出:

x⎡⎣⎢2−10⎤⎦⎥+y⎡⎣⎢−12−3⎤⎦⎥+z⎡⎣⎢0−14⎤⎦⎥=⎡⎣⎢0−14⎤⎦⎥

可以得出一个解为 x=0,y=0,z=1

对于上述方程式组,如果 b 的值变为 ⎡⎣⎢11−3⎤⎦⎥ , 则可以得出一个解为 x=1,y=1,z=0

以此类推,得出一个问题:

Can I solve Ax=b for every b ?
Or
Do the linear combinations of the columns fill three dimensional space?

是否对于任意的 b , Ax=b 都有解?

对于上述方程式组,如果三个列向量均处在同一平面内,则无法通过线性组合方式生成不在这个平面内的向量,那么对于空间内其他不属于此平面的向量就无解.这种情况被称为奇异(singular case),该矩阵非可逆(not invertible),不是对于所有的 b 都有解.

Matrix Form - 矩阵形式

矩阵乘以向量的形式(multiply a matrix by a vector) 表达为 Ax=b .
e.g.

[2153]∗[12]

可以将其看作 1个列1 和 2个列 2 相加:

[2153]∗[12]=1[21]+2[53]=[127]

也可以通过点乘的方式求解:

[2153]∗[12]=[2∗1+5∗21∗1+3∗2]=[127]

Ax is a combination of the columns of A .