卡特兰数（Catalan Number）相关问题整理

Catalan数的相关问题整理

Catalan数的引入与数学表达

卡特兰数可以简单理解为这样一个问题的解：对于一个已知长度的数列，其中包含n个+1，n个-1，这个数列就是这2n个数字的随机排列，那么如果要求任意一个前k项的和都不能是负数的话，这样的排列有多少种？
这个解就是卡特兰数构成的数列，下标为n。

下面是卡特兰数的一些数学性质：

这里的Cn表示下表为n的卡特兰数。

卡特兰数的实例

1. 进出stack的问题：

比如上图，把1234的数列依次放入stack中，假设栈足够大，那么可以push也可以pop，则一共有多少种进出栈的方法？
实际上用栈的例子反而比起上面的+-1的数列部分和的定义更好理解，因为这里的部分和非负不是人为定义的，而是因为stack不可能在空的状态下还pop元素。记push为+1，pop为-1，那么必须在任意时刻都是push的不少于pop的。由此可以推出catalan数的递推公式：

Catalan(n)=Catalan(0)∗Catalan(n−1)+...+Catalan(k−1)∗Catalan(n−k)+...+Catalan(n−1)∗Catalan(0) C a t a l a n ( n ) = C a t a l a n ( 0 ) ∗ C a t a l a n ( n − 1 ) + . . . + C a t a l a n ( k − 1 ) ∗ C a t a l a n ( n − k ) + . . . + C a t a l a n ( n − 1 ) ∗ C a t a l a n ( 0 )

递推公式的解释

下面解释原因，首先，找到通项，就是 Catalan(k−1)∗Catalan(n−k) C a t a l a n ( k − 1 ) ∗ C a t a l a n ( n − k ) ，这项表示假设我们的push顺序为1～n，那么考虑第k个元素最后出栈，这意味着，所有其他的元素都已经在他之前出栈了，那么就有这么两种情况：一种是，在它前面的元素比他先出去，另一种是它后面的比他先出去。前面的元素先与k出栈，也就是1～k-1 ，虽然进去的早，但是它们在k入栈之前就已经pop掉了，因此也不会被k压在下面，这个情况的可能状态数就是Catalan(k-1)；还有一种是入栈晚，就是k+1～n，这些元素在k最后出栈的情况下总共有Catalan(n-k)种可能性。而前后的这些元素的表现是独立的，所以用乘法原理。而第k个元素使我们的假设，实际上k可以是1～n的任何一个数，所以要加起来才是总的结果，这就是递推式。

通项公式的解释

catalan数的通项公式为：

Catalan(n)=1n+1(2nn)=(2nn)−(2nn−1) C a t a l a n ( n ) = 1 n + 1 ( 2 n n ) = ( 2 n n ) − ( 2 n n − 1 )

首先，回到+-1的场景，对于这样一个数列，如果没有restriction，那么排列总共有2n choose n，那么哪些不合格呢？不合格的就是它们中间出现了某个部分和，是小鱼0的。那么我们对于这样的数列，找到第一个使得部分和小鱼0的数，那么这个就是一个-1，（因为是 第一个，假如这个是+1，那么前面就得是-2，所以它就不是第一个，稍微归谬一下），我们做如下操作：把这个数，连同它前面的数，都乘以-1，则，前面的正负一一样多，这里多了个+1，所以总数上来说，一共有n+1个+1，n-1个-1。如果能说明这个变换对于calatan不合格的数列和n+1个+1和n-1个-1的全排列是一个一一映射的话，那么问题就解决了，实际上，这就是一个一一映射，因为对于这个n+1个+1和n-1个-1的全排列，总能找到一个位置，在这里，数列的部分和第一次为+1，那么把这前面的包括这个+1乘以-1，就构造出了一个catalan不合格数列。所以，合格的数列就是两种排列的差。

2. 二叉树的构成

给定结点数目，问可以构成多少种二叉树结构。可以考虑，对树进行一个后序遍历，那么可以看做是根节点最后出栈，先把左子树push和pop完，再把右子树push和pop完，最后pop根节点，对应于进出栈问题，因此就是catalan数。

3. 不跨对角线走格子

这个就是catalan问题的一个几何解释，很明显，不解释。

4. 找零钱问题

比如，某个东西5元钱，有n个人有5元，有n个人有10元，在可以找零的情况下，有多少排队方案？
实际上就是把卖家看成一个栈，卖家不能找不开零钱也相当于就是说栈不能pop空栈。
明显的catalan数。

5. 括号匹配或连乘顺序问题

对于一个连乘 A∗B∗C∗D... A ∗ B ∗ C ∗ D . . . ，可以任意加括号，那么有多少种顺序？
实际上就是问，有多少中可能的合法的括号匹配。
左括号+1，右括号-1，可以左括号多右括号少，因为后面可以补全，但是反之不行，就是+-1场景下的catalan问题。

5. 圆上的不相交弦问题

从某个点开始，顺时针依次标注弦上两端点为+1或-1，先遇到的标+1，后面的标-1，不相交弦实际上就是+-1的catalan问题，也可理解为一根弦的两点都要被压栈，而必须整条弦都pop出来才能在pop更早的弦或者进新弦。总之，是一个catalan问题。

其他的还有很多栗子，可以移步卡特兰数 — 计数的映射方法的伟大胜利

本文中图片都来源于这里的内容，特此声明。

2018年03月10日01:12:42

仇恨，即便是对卑鄙者的仇恨，也会扭曲外貌。 —— 戏剧家，贝尔托 布莱希特