K近邻(KNN)算法总结

1.KNN算法原理

KNN算法是选择与输入样本在特征空间内最近邻的k个训练样本并根据一定的决策规则给出输出结果。

决策规则:
分类任务：输出结果为k个训练样本中占大多数的类。
回归任务：输出结果为k个训练样本值的平均值。
如下图的分类任务，输出结果为w1类。

2.KNN算法三要素

K值的选择、距离度量和分类决策规则是K近邻算法的三个基本要素。

分类决策规则：
KNN算法一般是用多数表决方法，即由输入实例的K个近邻的多数聚类决定输入实例的类。这种思想也是经验风险最小化的结果。
训练样本为（xi，yi）。当输入实例为x，标记为c，Nk(x)是输入实例x的k近邻训练样本集。
我们定义训练误差率是K近邻训练样本标记与输入标记不一致的比例，误差率表示为：

因此，要使误差率最小化即经验风险最小，就要使上式中右端的最大，即K近邻的标记值尽可能与输入标记值一致，所以多数表决规则等价于经验风险最小化。

K值的选择：
K取值较小时，模型复杂度高，训练误差会减小，泛化能力减弱；K取值较大时，模型复杂度低，训练误差会增大，泛化能力有一定的提高。
KNN模型的复杂度可以通过对噪声的容忍度来理解，若模型对噪声很敏感，则模型的复杂度高；反之，模型的复杂度低。为了更好理解模型复杂度的含义，我们取一个极端，分析K=1和K=“样本值”的模型复杂度。

由上图可知，K=1时，模型输出的结果受噪声的影响很大。

由上图可知，样本数等于7，当K=7时，不管输入数据的噪声有多大，输出结果都是绿色类，模型对噪声极不敏感，但是模型太过简单，包含的信息太少，也是不可取的。

通过上面两种极端的K选取结果可知，K值选择应适中，K值一般小于20，建议采用交叉验证的方法取合适的K值。

距离度量：
KNN算法用距离来度量两个样本间的相似度，常用的距离表示方法：

1. 欧式距离：
   
2. 曼哈顿距离：
   
3. 闵可夫斯基距离：
   

可以看出，欧式距离是闵可夫斯基距离在p=2时的特例，而曼哈顿距离是p=1时的特例。

3.KNN算法之暴力实现方法

暴力搜索(brute-force search)是线性扫描输入实例与每一个训练实例的距离并选择前k个最近邻的样本来多数表决，算法简单，但是当训练集或特征维度很大时，计算非常耗时，故这种暴力实现原理是不可行的。

4.KNN算法之kd数实现方法

kd数是一种对k维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构，构造kd树相当于不断用垂直于坐标轴的超平面将k维空间进行划分，构成一系列的k维超矩形区域，kd数省去了对大部分数据的搜索，大大的减少了计算量。
kd数的KNN算法实现包括三部分：kd树的构建，kd树的搜索和kd树的分类。
1. 构建kd树:
kd树实质是二叉树，其划分思想与cart树一致，即切分使样本复杂度降低最多的特征。
kd数认为特征方差越大，则该特征的复杂度亦越大，优先对该特征切分，切分点是所有实例在该特征的中位数。重复该切分步骤，直到切分后无样本则终止切分，终止时的样本为叶节点。
【例】给定一个二维空间的数据集：

构造kd树的步骤：
(1)、数据集在维度x1和x2的方差分别为6.9和5.3，因此首先从x1维度进行切分。
(2)、数据集在x1维度的中位数是7，以平面x1=7将空间分为左右两个矩形。
(3)、分别对左右两个矩形的样本在x2维度的中位数进行切分。
(4)、重复步骤（2）（3），直到无样本，该节点为叶子节点。
如下图，绿色为叶子节点，红色为节点和根节点。

2. kd树搜索:
(1)、搜索路径从根节点到叶节点，在kd树里面找到包含目标点的叶子结点。
(2)、搜索路径从叶节点到根节点，找到距离目标点最近的样本实例点。
3. kd树预测:
每一次搜寻与输入样本最近的样本节点，然后忽略该节点，重复同样步骤K次，找到与输入样本最近邻的K个样本，投票法确定输出结果。

5. KNN算法之训练样本不平衡情况

若正负样本处于不平衡状态，运用投票决策的KNN算法判断输入样本的所属类别：

结果显示输入样本为绿色类，院长是红色类个数远小于绿色类，导致出现分类错误。
（1）若分类决策选择限定半径最近邻法，即以输出样本为圆心最大半径R的圆内选择出现次数最多的类作为输入样本的类，如下图，黑色样本的分类结果正确。

（2）投票法是默认每个样本的权重相等，我们假定权重与距离成反比，即距离越大，对结果影响越小，那么该样本的权重也越小，反之，权重则越大，根据权重对输入样本进行分类。这种思想与adaBoost算法相似，分类性能好的弱分类器给予一个大的权重。
分类过程：
(1)、选择与输入样本距离X0最近的K个训练Xi(i = 1,2,…,K)，d(X0, X1)表示输入样本和训练样本的距离。
(2)、根据距离与样本成反比的性质将距离转化成权重Wi，Wi表示输入样本X0与训练样本Xi的权重。
(3)、我们累加每一类的样本权重，并认为该权重占所有权权重和比例是该类的生成概率，概率最大的类就是输入样本的分类结果。
假设目标是二分类(C1, C2)，表达式：

若，则，分类结果为C1类，反之为C2类。

回归过程：
（1）（2）过程与分类过程一致，（3）则使用如下表达式得到回归值：

其中，y为输出结果，f(xi)为最近邻样本的值。若权重相同的话，则输出结果为K个训练样本的平均值。
用权重思想重新对上例进行分类，可得输入样本为红色类。

6. KNN算法优缺点

优点：
（1）算法简单，理论成熟，可用于分类和回归。
（2）对异常值不敏感。
（3）可用于非线性分类。
（4）比较适用于容量较大的训练数据容量较小的训练数据则很容易出现误分类情况。
（5）KNN算法原理是根据邻域的K个样本来确定输出类别，因此对于不同类的样本集有交叉或重叠较多的待分样本集来说，KNN方法较其他方法更为适合。

缺点：
（1）时间复杂度和空间复杂度高。
（2）训练样本不平衡，对稀有类别的预测准确率低。
（3）相比决策树模型，KNN模型可解释性不强。