【LuoguP3327】约数个数和

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题目描述

设d(x)为x的约数个数，给定N,M,求∑Ni=1∑Mj=1d(ij) 设 d ( x ) 为 x 的 约 数 个 数 ， 给 定 N , M , 求 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 M d ( i j )
其中d(x)表示x的约数个数 其 中 d ( x ) 表 示 x 的 约 数 个 数

题解

首先要知道如下结论:
d(ij)=∑ik|i∑jl|jgcd(k,l)=1 d ( i j ) = ∑ k | i i ∑ l | j j g c d ( k , l ) = 1

然后开始随便推式子：
原式化为

∑i=1N∑j=1M∑k|ii∑l|jjgcd(k,l)=1 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 M ∑ k | i i ∑ l | j j g c d ( k , l ) = 1

因为我们有 ∑d|nμ(d)=1(n=1) ∑ d | n μ ( d ) = 1 ( n = 1 )

∑i=1N∑j=1M∑k|ii∑l|jj∑d|gcd(k,l)μ(d) ∑ i = 1 N ∑ j = 1 M ∑ k | i i ∑ l | j j ∑ d | g c d ( k , l ) μ ( d )

对于每一个 k,l k , l 会被算到 N/k∗M/l次 N / k ∗ M / l 次 (可去掉最外层两个sigma)

∑kN∑lMNk∗Ml∑d|gcd(k,l)μ(d) ∑ k N ∑ l M N k ∗ M l ∑ d | g c d ( k , l ) μ ( d )

枚举d

∑d=1min(N,M)μ(d)∑k=1Nd∑l=1MdNkd∗Mld ∑ d = 1 m i n ( N , M ) μ ( d ) ∑ k = 1 N d ∑ l = 1 M d N k d ∗ M l d

∑d=1min(N,M)μ(d)∑k=1NdNkd∑l=1MdMld ∑ d = 1 m i n ( N , M ) μ ( d ) ∑ k = 1 N d N k d ∑ l = 1 M d M l d

令 g(x)=∑ni=1ni g ( x ) = ∑ i = 1 n n i
则

∑d=1min(N,M)μ(d)∗g(Nd)∗g(Md) ∑ d = 1 m i n ( N , M ) μ ( d ) ∗ g ( N d ) ∗ g ( M d )

筛g不能想当然地递推，会WA，而要用筛的方法
其实简单想想就会发现g(n)是n内所有数的约数个数的和，可以分别筛出每个数的约数个数，然后再求前缀和。

约数个数是个积性函数，可以筛。

#include
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#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0;char ch=getchar();int t=1;
    for(;ch>'9'||ch<'0';ch=getchar()) if(ch=='-') t=-1;
    for(;ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=(x<<1)+(x<<3)+(ch-48);
    return x*t;
}
int n,m;
const int N=5e4+100;
typedef long long ll;
int cnt=0;int pri[N];
int c[N];//某数的质因子的次数中的最小的次数
int mu[N];int g[N];bool vis[N];
inline void prepare()
{
    mu[1]=1;vis[1]=1;g[1]=c[1]=1;
    for(register int i=2;iif(!vis[i]) {mu[i]=-1;pri[++cnt]=i;g[i]=2;c[i]=1;}
        for(register int j=1;j<=cnt&&(1ll*pri[j]*iregister int x=pri[j]*i;
            vis[x]=1;
            if(i%pri[j]) {
                mu[x]=-mu[i];
                g[x]=g[i]*g[pri[j]];c[x]=1;
            }
            else {
                g[x]=g[i]/(c[i]+1)*(c[i]+2);
                c[x]=c[i]+1;mu[x]=0;
                break;
            }
        }
    }
    for(register int i=1;i1];
    for(register int i=2;i1];
}

int main()
{
    int T=read();
    prepare();
    while(T--)
    {
        n=read();m=read();if(n>m) swap(n,m);
        register int l=0,r=0;register ll ans=0;
        for(l=1;l<=n;l=r+1)
        {
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));if(r>n) r=n;
            ans+=1ll*(mu[r]-mu[l-1])*g[n/l]*g[m/l];
        }
        printf("%lld\n",ans);
    }
}