php算法题：寻找有序数组的中位数

4. Find Median Sorted Arrays

There are two sorted arrays nums1 and nums2 of size m and n respectively.

Find the median of the two sorted arrays. The overall run time complexity should be O(log (m+n)).

You may assume nums1 and nums2 cannot be both empty.

Example 1:

nums1 = [1, 3]
nums2 = [2]

The median is 2.0

Example 2:

nums1 = [1, 2]
nums2 = [3, 4]

The median is (2 + 3)/2 = 2.5

一、按时间复杂度O（m+n）解

先来解释一下什么是中位数

如下：
[3，4，5] , 那么这组数的中位数就是4
[3，4，5，6] , 那么这组数的中位数就是 （4+5）／2 = 4.5

开始没有注意到时间复杂度，但按照O（m+n）解，也花了我不少时间，可能是很久没有接触算法的缘故。

二、二分法求解

根据上面对中位数的解释，以及对于题目中给出的有序数组nums1[m]，nums2[n]。可以想到，最后肯定是nums1的一部分在中位数的左边，一部分数在中位数的右边，nums2同理。

所以咱们可以将nums1和nums2，合并后划分成，左右两个数组。

nums1[0],...,nums1[i-1] | nums1[i] ... nums1[m-1]
nums2[0],...,nums2[j-1] | nums2[j] ... nums2[m-1]

也可以看成是下面这种

nums1[0],...,nums1[i-1]，nums2[0],...,nums2[j-1] | nums1[i] ... nums1[m-1]，nums2[j] ... nums2[m-1]

左右两个数组的总数可能是奇数，也可能是偶数。所以规定，如果是奇数，那么左边比右边多一个，如果是偶数，那么左右两边相等。

这里来说一下i和j的关系
左边数组的个数 t =（int)(m+n+1)/2
j = t - i.

理解清楚了i和j的关系之后，那么接下来就要判断中位数了
抓住数组有序这个条件。
可知如果满足中位数的条件左边最大的数leftMax 小于 右边最小的数rightMin
并且左边数组个数一定是等于右边数组个数，或者是比右边数组个数多1个。

最重要的来了
根据上面一系列的条件，那么现在要做的就是通过二分法选出合适的i，进而得到中位数

还得考虑边界问题，这个在下面代码中给出注释

代码如下：

class Solution{
    /**
     * @param Integer[] $nums1
     * @param Integer[] $nums2
     * @return Float
     */
    function findMedianSortedArrays($nums1, $nums2) {
        $m = count($nums1);
        $n = count($nums2);
        //如果$m>$n时，后面的$j会可能小于0。也就是上面提到的不等式（ t =（int)(m+n+1)/2。j = t - i.）
        if($m>$n) return $this->findMedianSortedArrays($nums2,$nums1);
        
        $t = (int)(($m+$n+1)/2);
        $i = 0;
        $j = 0;
        
        /** 要理解清楚下面两组max，min的意思 */
        $leftMax = 0;//左边数组的最大值
        $rightMin = 0;//右边数组的最小值
        $iMax = $m;//二分法的右边界
        $iMin = 0;//二分法的左边界
        
        while($iMax >= $iMin){
            //二分法
            $i = (int)(($iMax+$iMin)/2);
            $j = $t-$i;
            if ($i>0 && $j<$n && $nums1[$i-1] > $nums2[$j]){//利用数组有序，可以只比较一次
                $iMax=$i-1;
            }elseif ($j>0 && $i<$m && $nums1[$i] < $nums2[$j-1]){//利用数组有序，可以只比较一次
                $iMin=$i+1;
            }else{//二分到最后 最佳位置
                if ($i==0){
                    $leftMax = $nums2[$j-1];
                }elseif ($j==0){
                    $leftMax = $nums1[$i-1];
                }else {
                    $leftMax = max($nums2[$j-1],$nums1[$i-1]);
                }
                if(($m+$n)%2 == 1){//数组和是奇数
                    return $leftMax;
                }
                //数组和是奇数
                if ($i == $m){
                    $rightMin = $nums2[$j];
                }elseif ($j == $n){
                    $rightMin = $nums1[$i];
                }else {
                    $rightMin = min($nums2[$j],$nums1[$i]);
                }
                return ($leftMax+$rightMin)/2;
            }
        }        
    }
    }

总结

讲解问题的能力还有待进一步提高。如果有问题欢迎私聊。