康托（Cantor）展开

Sample Input

3
ABCDEFGHIJ
HGEBFACDJI
GDEDHJBXIA

Sample Output

1
2803322
1911924

其实思路可能不用说也能想出来。

设总长度为len，枚举每一个字母，找它后面比它小的字母个数，记为k。那么每一位的答案就是k*(len-i)!。

下面给出草率证明：

先举个栗子，比如说一个字符串BACED。（样例太长懒得解释）

第一位B找到了A一个比它小的字母，说明这个字符串排在所有以A开头的字符串之后（显然共有4！个），所以B对最终答案的贡献是4！。

第二位A没找到比它小的字母，说明这个字符是所有以B开头的字符串中第二位最小的，所以B对最终答案没有贡献。

第三位C没找到比它小的字母，说明这个字符是所有以BA开头的字符串中第二位最小的，所以C对最终答案没有贡献。

第四位E找到了E一个比它小的字母，说明这个字符串排在所有以BACD开头的字符串之后（显然共有1！个），所以E对最终答案的贡献是1！。

第五位D没找到比它小的字母，说明这个字符是所有以BACE开头的字符串中第二位最小的，所以D对最终答案没有贡献。

又因为第一个字符串排名为1，所以所有字符串排名都应加1。

所以答案是1+4！+1！=26；

放代码，算是很短的。

 1 #include
 2 using namespace std;
 3 
 4 int n,f[19];
 5 int main(){
 6     scanf("%d",&n);
 7     f[0]=1;//注意 
 8     for(int i=1;i<=10;i++) f[i]=f[i-1]*i;//预处理阶乘 
 9     while(n--)//数据组数 
10     {
11         int ans=1;//每个字符串排名都加1，上面有提到 
12         string s;
13         cin>>s;
14         int len=s.length();//取字符串长度 
15         for(int i=0;is[j]) k++;//记录在当前字符之后有几个比当前字符小的 
20             ans+=k*f[len-i-1];//注意i从0开始，所以是len-i-1 
21         }
22         printf("%d\n",ans);
23     }
24     return 0;
25 }

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但是时间复杂度达到了len²（当然这里len只有11，除了穷举都能过）

但如果是这道题呢？（参考洛谷P5637）

P5367 【模板】康托展开

题目描述

求

输入格式

第一行一个正整数

第二行

输出格式

一行一个非负整数，表示答案对

输入输出样例

输入 #1

3
2 1 3

输出 #1

输入 #2

4
1 2 4 3

输出 #2

说明/提示

对于

 1 #include//随时记得取模，尽可能降低WA的概率 
 2 #define P 998244353
 3 #define N 1000009
 4 using namespace std;
 5 
 6 int n,ans=1,a[N],sum[N<<2]; 
 7 long long f[N];//这道题内存限制只有31.25MB，第一次全开了long long发现MLE，第二次全开了int爆WA，最后部分开了long long才压内存过
 8 void Update(int rt,int l,int r,int x,int c,int fg)//fg是flag，标记 
 9 {
10     if(l==r && l==x)
11     {
12         if(fg==1) sum[rt]+=c;//如果是插入，sum就加c 
13         else sum[rt]-=c;//如果是删除，sum就减c 
14         return;
15     }
16     int mid=(l+r)>>1;
17     if(x<=mid) Update(rt<<1,l,mid,x,c,fg);
18     else Update(rt<<1|1,mid+1,r,x,c,fg);
19     sum[rt]=sum[rt<<1]+sum[rt<<1|1];
20 }
21 
22 int Query(int rt,int l,int r,int x,int y)
23 {
24     if(l==x && r==y) return sum[rt];
25     int mid=(l+r)>>1;
26     if(y<=mid) return Query(rt<<1,l,mid,x,y);
27     else if(x>mid) return Query(rt<<1|1,mid+1,r,x,y);
28     else return Query(rt<<1,l,mid,x,mid)+Query(rt<<1|1,mid+1,r,mid+1,y);
29 }
30 int main(){
31     memset(sum,0,sizeof(sum));
32     scanf("%d",&n);
33     f[0]=1;//注意 
34     for(int i=1;i<=1000009;i++) f[i]=f[i-1]%P*i%P;//计算阶乘 
35     for(int i=1;i<=n;i++)
36     {
37         scanf("%d",&a[i]);
38         Update(1,1,n,a[i],1,1);//将每一个数插入到权值线段树中 
39     }
40     for(int i=1;i<=n;i++)
41     {
42         if(a[i]==1)//如果a[i]==1，那么该数一定对答案没有贡献，直接删除 
43         {
44             Update(1,1,n,a[i],1,0);
45             continue;
46         }
47         ans=(ans+Query(1,1,n,1,a[i]-1)%P*f[n-i]%P)%P;//更新答案 
48         Update(1,1,n,a[i],1,0);//删除这个数 
49     }
50     printf("%d\n",(ans+P)%P);
51     return 0;
52 }

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