Luogu P3226 集合选数 题解报告

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【题目大意】

给定一个数$n$，从集合$\{1,2,…,n\}$中选数，求满足“如果$x$选了，就不能选$2x$和$3x$”的子集个数(包括空集)

【思路分析】

我觉得这题挺妙的，要转化为在矩阵中选数，类似这样的矩阵$\downarrow$

$$\begin{matrix}x&2x&4x&\cdots\\3x&6x&12x&\cdots\\9x&18x&36x&\cdots\\\vdots&\vdots&\vdots\end{matrix}$$

然后你发现要满足题目要求就是在矩阵内不能选相邻的数(不能上下相邻也不能左右相邻)，于是我们就可以愉快地用状压DP求答案啦！

要注意的就是为了保证不漏答案，我们要把$[1,n]$内每一个既不是2的倍数也不是3的倍数的数作为$x$构造矩阵，然后跑一遍状压DP求答案，这样才能涵盖所有的数，最后根据乘法原理就可以求出整道题目的答案了。

详见代码(有注解)

【代码实现】

 1 #include
 2 #include
 3 #include
 4 #include
 5 #include
 6 #include
 7 #define g() getchar()
 8 #define rg register
 9 #define ll long long
10 #define go(i,a,b) for(rg ll i=a;i<=b;i++)
11 #define back(i,a,b) for(rg ll i=a;i>=b;i--)
12 #define db double
13 #define il inline
14 #define pf printf
15 #define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
16 using namespace std;
17 ll fr(){
18     ll w=0,q=1;
19     char ch=g();
20     while(ch<'0'||ch>'9'){
21         if(ch=='-') q=-1;
22         ch=g();
23     }
24     while(ch>='0'&&ch<='9') w=(w<<1)+(w<<3)+ch-'0',ch=g();
25     return w*q;
26 }
27 const ll mod=1000000001;
28 const int maxn=(1<<18)+1;
29 const int N=100002;
30 ll n,a[20][20],end,lie[20],mx[20],f[20][maxn];
31 //f[i][j]表示枚举到当前矩阵第i列状态为j的方案数
32 bool ok[maxn];
33 ll ans=1,as;
34 il void build(rg ll x){
35     go(i,1,11){
36         if(i==1) a[i][1]=x;
37         else a[i][1]=a[i-1][1]*3;
38         if(a[i][1]>n) break;
39         end=i,lie[i]=1;//lie[i]记录第i行有多少列
40         go(j,2,18){
41             a[i][j]=a[i][j-1]<<1;
42             if(a[i][j]>n) break;
43             lie[i]=j;
44         }
45         mx[i]=(1<1;//mx[i]记录第i行所有状态压缩后的最大值
46     }
47     return;
48 }
49 il void work(rg ll x){
50     as=0;
51     go(i,0,mx[1]) f[1][i]=ok[i];
52     go(i,2,end) go(j,0,mx[i]){
53         if(!ok[j]) continue;//如果这个状态不合法就跳过
54         f[i][j]=0;//这里要手动赋初始值,用memset会T
55         go(k,0,mx[i-1])
56             if(ok[k]&&((k&j)==0)) f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][k])%mod;
57 //如果上一行的状态合法且与这一行没有选同一列的数,那么就是合法的,加入答案
58     }
59     go(i,0,mx[end]) if(ok[i]) as=(as+f[end][i])%mod;
60 }
61 int main(){
62     //freopen("","r",stdin);
63     //freopen("","w",stdout);
64     n=fr();
65     go(i,0,maxn-1) ok[i]=((i<<1)&i)?0:1;
66     //预处理出单个一行每种状态是否满足条件
67     go(i,1,n)
68         if(i%2&&i%3) build(i),work(i),ans=ans*as%mod;
69     //如果这个数既不是2的倍数也不是3的倍数,那就要造矩阵求答案
70     pf("%lld\n",ans);
71     return 0;
72 }

代码戳这里