1、最小生成树(MST树)
  针对连通图；
  (1)、现实意义：在n个城市之间建立通信网络，连通n个城市，只需要n-1条线路；

  但是n个城市之间共有 n*(n-1)/2条路线，如何选择n-1条，使我们花费成本最小。

  (2)、相同的一个图形结构，有可能产生出不同形状的生成树，但是我们要找的是不同形状生成树里面耗费最小的一棵树；

  (3)、研究的问题：怎样从生成树里面找到花费代价最小的一颗，花费最小，成本最低；耗费代价最小的生成树我们就称之为：最小生成树(MST树)。

  (4)、最小生成树是不能有环形的；通过不同的方法，最终所找到的最小生成树是相同的(在权值相同时，有可能不一样，但是权值最小是唯一的，肯定的)。

2、Kruskal算法思想

  思想：每次找权值最小的边，与顶点关系不大(不关注顶点)；

  从边的游离角度出发，每次都要找权值路径最小的边，(特别注意看所选的边是否购成回路)

模型分析：

最小生成树---Kruskal算法_第1张图片

    




3、Kruskal算法实现

  这里找最小代价cost时，采用的是数组(调用系统快排)，当然用堆也可以。

  均由C++代码实现(用的是邻接矩阵)：

typedef struct MstEdge{   //最小生成树的边(弄成一个结构体)
    int x;  //row
    int y;  //col
    int cost;
}MstEdge;

int cmp(const void *a, const void *b){   //快排比较的方法
    return (*(MstEdge*)a).cost - (*(MstEdge*)b).cost;
}

bool isSame(int *father, int i, int j){  //判断是否为回路，就是有相同的父节点
    while(father[i] != i){
        i = father[i];
    }
    while(father[j] != j){
        j = father[j];
    }

    return i == j;
}
void markSame(int *father, int i, int j){  //连通之后，标记为有相同的父节点
    while(father[i] != i){
        i = father[i];
    }
    while(father[j] != j){
        j = father[j];
    }

    father[j] = i;
}

template
void GraphMtx::MinSpanTree_Kruskal(){ 
    int n = Graph::getCurVertex();  //由于要用到父类的保护数据或方法，有模板的存在，必须加上作用域限定符;
    MstEdge *edge1 = new MstEdge[n*(n-1)/2]; //最小生成树的数组
    int k = 0;

    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = i+1; j < n; j++){
            if(edge[i][j] != MAX_COST){
                edge1[k].x = i;
                edge1[k].y = j;
                edge1[k].cost = edge[i][j];
                k++;
            }
        }
    }
    qsort(edge1, k, sizeof(MstEdge), cmp);  //调用系统的快排；

    int *father = new int[n];  //弄一个父节点
    Type v1, v2;
    for(i = 0; i < n; i++){
        father[i] = i;  //自己的父就是自己顶点的下标
    }
    for(i = 0; i < n; i++){
        if(!isSame(father, edge1[i].x, edge1[i].y)){  //父节点不相同
            v1 = getValue(edge1[i].x);
            v2 = getValue(edge1[i].y);
            printf("%c-->%c : %d\n", v1, v2, edge1[i].cost);  //找到了最小边和cost
            markSame(father, edge1[i].x, edge1[i].y);  //标记为相同父节点;
        }
    }
}

4、完整代码、测试代码、测试结果

  (1)、完整代码

#ifndef _GRAPH_H_
#define _GRAPH_H_

#include
#include
using namespace std;

#define VERTEX_DEFAULT_SIZE        10
#define MAX_COST                0x7FFFFFFF

template    
class Graph{
public:
    bool isEmpty()const{
        return curVertices == 0;
    }
    bool isFull()const{
        if(curVertices >= maxVertices || curEdges >= curVertices*(curVertices-1)/2)
            return true;  //图满有2种情况：(1)、当前顶点数超过了最大顶点数，存放顶点的空间已满
        return false;     //(2)、当前顶点数并没有满，但是当前顶点所能达到的边数已满
    }
    int getCurVertex()const{
        return curVertices;
    }
    int getCurEdge()const{
        return curEdges;
    }
public:
    virtual bool insertVertex(const Type &v) = 0;  //插入顶点
    virtual bool insertEdge(const Type &v1, const Type &v2, E cost) = 0; //插入边
    virtual bool removeVertex(const Type &v) = 0;  //删除顶点
    virtual bool removeEdge(const Type &v1, const Type &v2) = 0; //删除边
    virtual int getFirstNeighbor(const Type &v) = 0; //得到第一个相邻顶点
    virtual int getNextNeighbor(const Type &v, const Type &w) = 0; //得到下一个相邻顶点
public:
    virtual int getVertexIndex(const Type &v)const = 0; //得到顶点下标
    virtual void showGraph()const = 0;  //显示图
    virtual Type getValue(int index)const = 0; 
public:
    virtual void DFS(const Type &v) = 0;
    virtual void BFS(const Type &v) = 0;
protected:
    int maxVertices;  //最大顶点数
    int curVertices;  //当前顶点数
    int curEdges;  //当前边数
};

template
class GraphMtx : public Graph{ //邻接矩阵继承父类矩阵
#define maxVertices  Graph::maxVertices  //因为是模板，所以用父类的数据或方法都得加上作用域限定符
#define curVertices  Graph::curVertices
#define curEdges     Graph::curEdges
public:
    GraphMtx(int vertexSize = VERTEX_DEFAULT_SIZE){  //初始化邻接矩阵
        maxVertices = vertexSize > VERTEX_DEFAULT_SIZE ? vertexSize : VERTEX_DEFAULT_SIZE;
        vertexList = new Type[maxVertices]; //申请顶点空间
        for(int i = 0; i < maxVertices; i++){  //都初始化为0
            vertexList[i] = 0;
        }
        edge = new int*[maxVertices];  //申请边的行
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //申请列空间
            edge[i] = new int[maxVertices];
        }
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //赋初值为0 
            for(int j = 0; j < maxVertices; j++){
                if(i != j){
                    edge[i][j] = MAX_COST; //初始化时都赋为到其它边要花的代价为无穷大。
                }else{
                    edge[i][j] = 0;  //初始化时自己到自己认为花费为0
                }
            }
        }
        curVertices = curEdges = 0; //当前顶点和当前边数
    }
    GraphMtx(Type (*mt)[4], int sz){  //通过已有矩阵的初始化
        int e = 0; //统计边数
        maxVertices = sz > VERTEX_DEFAULT_SIZE ? sz : VERTEX_DEFAULT_SIZE;
        vertexList = new Type[maxVertices]; //申请顶点空间
        for(int i = 0; i < maxVertices; i++){  //都初始化为0
            vertexList[i] = 0;
        }
        edge = new int*[maxVertices];  //申请边的行
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //申请列空间
            edge[i] = new Type[maxVertices];
        }
        for(i = 0; i < maxVertices; i++){ //赋初值为矩阵当中的值
            for(int j = 0; j < maxVertices; j++){
                edge[i][j] = mt[i][j];
                if(edge[i][j] != 0){
                    e++; //统计列的边数
                }
            }
        }
        curVertices = sz;
        curEdges = e/2;
    }
    ~GraphMtx(){}
public:
    bool insertVertex(const Type &v){
        if(curVertices >= maxVertices){
            return false;
        }
        vertexList[curVertices++] = v;
        return true;
    }
    bool insertEdge(const Type &v1, const Type &v2, E cost){
        int maxEdges = curVertices*(curVertices-1)/2;
        if(curEdges >= maxEdges){
            return false;
        }

        int v = getVertexIndex(v1);
        int w = getVertexIndex(v2);

        if(v==-1 || w==-1){
            cout<<"edge no exit"<::getCurVertex();
        bool *visit = new bool[n];

        for(int i = 0; i < n; i++){
            visit[i] = false;
        }
        DFS(v, visit);
        delete []visit;
    }
    void BFS(const Type &v){
        int n = Graph::getCurVertex();
        bool *visit = new bool[n];
        for(int i = 0; i < n; i++){
            visit[i] = false;
        }
        cout<";
        int index = getVertexIndex(v);
        visit[index] = true;

        queue q;  //队列中存放的是顶点下标;
        q.push(index);
        int w;
        while(!q.empty()){
            index = q.front();
            q.pop();
            w = getFirstNeighbor(getValue(index));
            while(w != -1){
                if(!visit[w]){
                    cout<";
                    visit[w] = true; 
                    q.push(w);
                }
                
                w = getNextNeighbor(getValue(index), getValue(w));
                
            }
        }

        delete []visit;
    }
public:
    void MinSpanTree_Kruskal();
protected:
    void DFS(const Type &v, bool *visit){
        cout<";
        int index = getVertexIndex(v);
        visit[index] = true;
        int w = getFirstNeighbor(v);
        while(w != -1){
            if(!visit[w]){
                DFS(getValue(w), visit);
            }
            w = getNextNeighbor(v, getValue(w)); 
        }
    }
private:
    Type *vertexList;  //存放顶点的数组
    int **edge;  //存放边关系的矩阵
};
//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////
typedef struct MstEdge{
    int x;  //row
    int y;  //col
    int cost;
}MstEdge;

int cmp(const void *a, const void *b){
    return (*(MstEdge*)a).cost - (*(MstEdge*)b).cost;
}

bool isSame(int *father, int i, int j){
    while(father[i] != i){
        i = father[i];
    }
    while(father[j] != j){
        j = father[j];
    }

    return i == j;
}
void markSame(int *father, int i, int j){
    while(father[i] != i){
        i = father[i];
    }
    while(father[j] != j){
        j = father[j];
    }

    father[j] = i;
}

template
void GraphMtx::MinSpanTree_Kruskal(){ 
    int n = Graph::getCurVertex();  //由于要用到父类的保护数据或方法，有模板的存在，必须加上作用域限定符;
    MstEdge *edge1 = new MstEdge[n*(n-1)/2];
    int k = 0;

    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(int j = i+1; j < n; j++){
            if(edge[i][j] != MAX_COST){
                edge1[k].x = i;
                edge1[k].y = j;
                edge1[k].cost = edge[i][j];
                k++;
            }
        }
    }
    qsort(edge1, k, sizeof(MstEdge), cmp);

    int *father = new int[n];
    Type v1, v2;
    for(i = 0; i < n; i++){
        father[i] = i;
    }
    for(i = 0; i < n; i++){
        if(!isSame(father, edge1[i].x, edge1[i].y)){
            v1 = getValue(edge1[i].x);
            v2 = getValue(edge1[i].y);
            printf("%c-->%c : %d\n", v1, v2, edge1[i].cost);
            markSame(father, edge1[i].x, edge1[i].y);
        }
    }
}

#endif

    (2)、测试代码

#include"Graph1.h"

int main(void){
    GraphMtx gm;
    gm.insertVertex('A'); //0
    gm.insertVertex('B'); //1
    gm.insertVertex('C'); //2
    gm.insertVertex('D'); //3
    gm.insertVertex('E'); //4
    gm.insertVertex('F'); //5

    gm.insertEdge('A','B',6);
    gm.insertEdge('A','C',1);
    gm.insertEdge('A','D',5);
    gm.insertEdge('B','C',5);
    gm.insertEdge('B','E',3);
    gm.insertEdge('C','E',6);
    gm.insertEdge('C','D',5);
    gm.insertEdge('C','F',4);
    gm.insertEdge('D','F',2);
    gm.insertEdge('E','F',6);

    gm.showGraph();
    gm.MinSpanTree_Kruskal();
  
    return 0;
 
}

  (3)、测试结果

测试图模型