11809 - Floating-Point Numbers

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题目链接：http://uva.onlinejudge.org/index.php?option=com_onlinejudge&Itemid=8&category=830&page=show_problem&problem=2909

算是个数学题吧，虽然在AOAPC上面给放到象征水题的第三章里面了。
　　这个题基本就是帮着你复习了一遍浮点数的存储方式了。浮点数在计算机里是分三部分表示的，最前面一位表示符号，后面一部分是尾数，最后一部分是阶码，表示方法类似于科学记数法，不过是二进制的，尾数是M阶码是E的话那么表示起来就是M × 2^E了。然后对于M还有一个要求，就是1/2 ≤ M < 1，所以用二进制表示M的话就应该是0.1XX……，用计算机表示的时候就把最前面的“0.1”这个永远不变的部分给省略掉，只表示可能变化的部分。阶码部分则是只用二进制表示E。

　　

　　上面的图就给出了一个例子，前面的0表示是正数。后面8位表示尾数m，这里是0.111111111（注意后面是9个1，因为头一个省略了）。之后那个0表示分割，最后面6位表示e的二进制为111111。所以这个数就是

，用十进制表示就是

。

　　在计算机中用二进制表示M和E的时候如果位数不同，那么它们所能表示的最大值也不同。现在给你所能够表示的最大的浮点数的值，让你倒回去求M和E分别有多少位。输入格式为AeB，表示最大浮点数为

，并且0 < A < 10，并且保证输出的结果中0 ≤ M ≤ 9且1 ≤ E ≤ 30。输入以0e0表示结束，0e0本身不计算。

这个如果直接去算的话相当麻烦，当E很大的时候数会直接超出上限。这个时候可以反过来想，最大的时候M和E的每一位肯定都是1，并且又有0 ≤ M ≤ 9且1 ≤ E ≤ 30的限定，所以一共只有300种情况，自然就想到了打表，先用二重循环枚举M和E可能出现位数的所有情况打一张表，然后输入的时候倒回去找即可。

假设当前一层M和E的值为m和e，它们的位数分别为i和j。
　　首先计算m的值，用二进制表示的话，m的值为0.11…，也就是m = 2^(-1) + 2^(-2) + … + 2^(-1 - i)（i比实际1的个数少1个），也就是m = 1 - 2^(-1 - i)。
　　接下来就是计算e的值，不难得出，e = 2^j - 1。
　　那么也就有m * 2^e = A * 10^B，似乎可以直接计算了。然而，直接这样算的话是不行的，因为当e太大的话（e最大可以是1073741823，注意这还只是2的指数），等号左边的数就会超出上限，所以要想继续算下去，就得自己去想办法再写出满足要求的类来，这显然太麻烦了。所以，这个时候我们对等式两边同时取对数，这个时候就有 log10(m) + e × log10(2) = log10(A) + B。因为此时m和e的值都是确定的，所以不妨令等式左边为t，也就有t = log10(A) + B。

这个时候就有问题了，A和B怎么算。
　　写题解的时候突然意识到了这个问题，读题的时候很多人，包括我，都把AeB默认为了科学记数法，在ACM协会群里面讨论的时候很多人也都说这是科学计数法。先来看如果是科学记数法的时候应该怎么办。
　　如果是科学记数法的话，那么对于A，就有1 ≤ A < 10。那么0 < log10(A) < 1。所以t的小数部分就是log10(A)，整数部分就是B，即B = ⌊t⌋，A = 10^(t - B)。那么接下来，我们只需要开出两个二维数组来，分别记录对应i和j下A和B的大小，之后从输入里提取出A和B的大小，去二维数组里面查找对应的i和j即可。
　　这种办法在UVA上面是可以直接AC的，但是我却感觉这题这样A了有点数据太水的感觉，秉着处女座+强迫症死磕到底的精神，我们看下哪里有问题。
　　其实回头读下题，我们发现科学记数法1 ≤ A < 10的条件是我们脑补出来的，题目里面根本没有提及，只是简单交待0 < A < 10。也就是说，对于确定的M和E的位数，十进制的表示可以有多种，例如样例中的5.699141892149156e76，下面的数据应当也是完全可能的，而且结果应当与样例的结果是相同的（当然是在保证精度可以计算出结果的前提下）：

0.569914189214915e770.056991418921491e780.005699141892149e790.000569914189214e80
　　带着这个想法我分别拿着上面的数据去UVA toolkit和uDebug上试了试， UVA toolkit依旧能够输出“5 8”的结果来，但是uDebug告诉我我的输入不合法……果真是我想多了么……
　　不过这个问题也好办，还是看上面的数据，忽略掉后面几位精度丢失的问题的话，上面的几个数完全可以通过“A *= 10, B -= 1”或者“A /= 10, B += 1”的操作来相互转化。那么对于0 < A < 1的A的值，我们就可以通过“A *= 10, B -= 1”的操作来使其满足科学记数法的条件。

另外，在查表的时候还应该注意精度的问题，15位有效数字对于double来说精度似乎也不够，而且计算出所需要的整数值其实需要的精度也没有那么高，所以这里的精度就只用到了1e-4的程度。