2018-07-04 线代（三）（逆矩阵、秩

一、逆矩阵

1、单位矩阵

单位矩阵.png

首先了解一下单位矩阵，左上到右下到对角线线值都是1，其余到值都是0。根据矩阵向量乘法，或者矩阵乘法，计算下来，Ev=v，EA=A。可以说单位矩阵E乘矩阵向量v，v没有变化。乘矩阵A，A也没有变化。
2、
之前知道矩阵向量乘法是表示对一个向量进行线性变换，结果变换后是这个向量坐标系中位置。
Av=w，表示向量v经过线性变换A，运动到了w，或者说变成了向量w。
假如存着矩阵B，向量w经过B变换又变回成v，
即：Bw=v，可以得到BAv=v，则说B是A到逆矩阵。A和B互为逆矩阵。
BA=AB=E，E是单位矩阵，单位矩阵乘向量，向量没发生变换，什么过程都没做。
3、逆矩阵的计算

计算.png

二、方程组

1、方程组从矩阵到角度看，可以看作一个未知向量x经过线性变换A得到一个结果向量y。

即：Ax=y。如果求得x，通过上面到逆矩阵知识可知，x=By。B是A到逆矩阵。

线性方程组.png

三、秩

秩：就是空间变换后的维数。
列空间：就是矩阵的列张成的空间。
1、零向量一定包含在在列空间中，因为线性变换后保持原点不变。
2、对于满秩来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身。
3、对于非满秩的矩阵来说，它将空间压到更低的维度上， 也就是说有一系列向量在变换后变成零向量。
4、在变换后落在原点的向量集合，被成为所选矩阵的零空间（null space）或者核（kercel）。

四、其他概念

这其中设计到逆矩阵的计算，其中还有初等变换，秩的计算什么的，都忘了，有空再在下面接着补充，全靠百度。

不懂就百度

五、补充，非方阵

好题目.png

目前讨论的线性变换，要么适用2x2的矩阵表示二维向量到二维向量到变换，要么是用3x3到矩阵表示三维向量到三维向量到变换。
非方阵，必须3行2列到3x2矩阵

几何意义.png

1、因为2列表示输入空间有两个基向量，3行表示每一个基向量变换后都用3个独立都坐标来表示。
所以3x2表示一个从二维到三维到变换。
2、类似，2x3矩阵表示来三维到二维到变换。三到二不好画图，二到一倒是好弄。

3、类似，二维到一维到变换

2到1.png

就需要1x2矩阵表示来。一维空间就是数轴了。

图片.png