Problem
Description
你有一个 \(N\) 行、\(M\) 列的、每个格子都填写着 0 的表格。你进行了下面的操作：
- 对于每一行 \(i\) ，选定自然数 \(r_i\) （\(0\leq r_i\leq M\)），将这一行最左边的 \(r_i\) 个格子中的数 \(+1\).
- 对于每一列 \(i\) ，选定自然数 \(c_i\) （\(0\leq c_i\leq N\)），将这一列最上边的 \(c_i\) 个格子中的数 \(+1\).
这样，根据你选定的 \(r_1,r_2,\ldots,r_N,c_1,c_2,\ldots,c_M\) ，你就得到了一个每个格子要么是 0，要么是 1，要么是 2 的一个最终的表格。问本质不同的最终表格有多少种。两个表格本质不同当且进当它们有一个对应格子中的数不同。
Range
\(1\leq N,M \leq 5\cdot 10^5\)
Algorithm
容斥原理
Mentality
我们应该直接考虑重复的情况是怎么样的。
对于一对行和列，我们先假设其他行列的操作已经完成了，只需要考虑当前行列有多少种操作令结果不同。
然后缜密思索，我们发现只会有两个操作的结果是相同的。
假设我们正在考虑行 \(i\) 与列 \(j\) ，那么不难发现，只有当 \(r_i=j,c_j=i-1\) 和 \(r_i=j-1,c_i=i\) 这两种情况时，它们的结果会相同，对于其他任意情况而言，结果唯一。
则我们只需要枚举有几对行列选择了这两种会重复的状态的前一种，剩下的随便填，然后利用容斥原理计算答案即可。
对于枚举 \(k\) ，则有：
\[ f(k)=C^N_k*C^M_k*k!*(M+1)^{N-k}*(N+1)^{M-k} \]
则：
\[ ans=\sum_{k=0}^{min(N,M)}(-1)^kf(k) \]
Code
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