Viscous Damped Motion-Free Vibration

Contents

1. Viscous Damping
2. Underdamped Motion
3. Overdamped Motion
4. Critically Damped Motion

0-Concepts

• undamped single-degree-of-freedom system
• viscous damping
• damping coefficient
• Characteristic equation
• critical damping coefficient
• the damping ratio
• Underdamped Motion
• Overdamped Motion
• Critically Damped Motion
• the damped natural frequency

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1-Viscous Damping

01-SDF systems[1].JPG

如上图所示的的系统，在一些假设之下列出了其线性微分方程。这些系统都没有计算阻尼的影响，因此可称它们为单自由度无阻尼系统。

如果考虑阻尼的影响呢？在这里我们只考虑粘性阻尼（Viscous Damping）影响。那么什么是Viscous Damping？让我们来看看下面这张图。

02-Viscous Damping Diagram[1].JPG

上图的结构可看作是汽车减震器的图解结构。中间容器中注满某种油，活塞部分有小孔口。当左右两边有位移变化，产生相对运动时，活塞就会有左右的移动，移动时，油液通过活塞上的油孔缓慢流动，从而产生阻力。（如果没有油液的话，活塞基本不会受到阻力。）油液产生的阻力与活塞的速度成正比关系：

03-damping force[1].JPG

其中 c 是油液粘性相关的比例常数，称为 阻尼系数（Damping coefficient）[1]。（油液产生阻力与油液粘性有关，有没有见过一般的食用油，你看它们是不是比自来水更粘稠，这种粘稠是因为油液的粘性比水大很多。）因为油液粘性而产生与物体速度成正比关系的阻尼力，所以称油液的此种阻尼为粘性阻尼（Viscous Damping）。

若单自由度系统考虑阻尼影响，如下图所示。

04-damping-SDF-system[1].JPG

那么其运动方程需改为

05-damping-SDF-system equation[1].JPG

其初始条件为：

• 初始位移 x(0) = x0
• 初始速度 x'(0) = v0

解系统运动方程（线性微分方程），令x(t)为

06-xt Eular[1].JPG

带入系统运动方程可得到特征方程 (Characteristic equation)：

07-Substitution[1].JPG

08-characteristic equation[1].JPG

解方程可到：

09-solution[1].JPG

观察特征方程的特征根，其中的判别式（the discriminant）c^2-4km 是影响运动方程的关键，所以这里要分三种情况。

• c^2 - 4km = 0 (critially damped)
• c^2 - 4km < 0 (underdamped)
• c^2 - 4km > 0 (overdamped)

c^2 - 4km = 0 时，定义c_cr 为 critical damping coefficient（临界阻尼系数）：

10-critical damping coefficient[1].JPG

其中 wn为系统无阻尼时的固有频率（rad/s），有时也用w0 来表示。
我们也可以定义 the damping ratio（阻尼比）为：

11-the damping ratio[1].JPG

如此，式（1.28）的解表示成：

12-solution of characteristic equ [1].JPG

下面就是讨论 阻尼系数的情况，分为三种情况。

• c < c_cr, underdamped motion
• c > c_cr, overdamped motion
• c = c_cr, critically damped motion

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2-Underdamped motion

在underdamped motion （欠阻尼运动）中，系统阻尼系数 c < c_cr，阻尼比 ξ 小于1（0 < ξ < 1）. 那么

13-the discriminant[1].JPG

两个特征根为：

14-characteristic roots[1].JPG

运动微分方程解为：

15-solution of motion eq.[1].JPG

16-solution of motion eq.[1].JPG

其中，wd 为 the damped natural frequency（有阻尼固有频率）。

17-damped natural frequency[1].JPG

如此，系统的速度为

18-velocity[1].JPG

可得到相位

19-phase [1].JPG

因此幅值A和相位为

20-amplitude and phase [1].JPG

既然得到系统运动微分方程的解，那么我们一起来看看某个 underdamped system 的响应（位移），其为一个振荡运动，到系统振动不断衰减为0。

21-response of an underdamped system [1].JPG

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3-Overdamped motion

要是 阻尼比 ξ > 1 呢？ 判别式就为正，特征方程的根为

22-overdamped characteristic roots[1].JPG

可解得，

23-overdamped response [1].JPG

系数a1和a2为，

24-overdamped response amplitude [1].JPG

某个 overdamped system 的响应曲线如图所示

25-overdamped response [1].JPG

观察曲线，可以发现 过阻尼系统的响应不是振荡运动，系统响应不经过振荡就不断衰减为0（除了第2种情况，先有一段振幅到最大，最后不断衰减，从初始条件可以看出，第2种情况下，物体正好经过平衡位置,位移为0，速度最大，所以要到幅值最大处再衰减）。

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4- Critically Damped motion

现在只剩下 critically damped motion，此时 c = c_cr, ξ = 1. 特征根为

26-critically damped roots and solution [1].JPG

由初始条件可以得到

27-critically damped amp [1].JPG

响应曲线如图所示。

28-critically damped system response [1].JPG

可以看出，系统的响应也没有出现 underdamped motion 中出现的振荡运动。

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5-A standard form

单自由度有阻尼系统的一般方程可写为

29-KCM-equation [1].JPG

化为更一般的形式：

30-a standard form [1].JPG

这样一些， 是不是清晰？！

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OK，以上就是系统在有阻尼情况下的自由响应。实际可没有那么简单，这里是一种简化理解实际中的振动情况。

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Reference

[1] Inman D J, Singh R C. Engineering vibration[M]. Upper Saddle River: Prentice Hall, 2014.

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@安然Anifacc
2017-01-06 10:27:07 wirte 1-4
2017-01-06 11:19:37 add 5