【论文】eALS

本文对于加快矩阵分解作出了贡献。解决了两个问题：

1. 缺少负面反馈数据。大部分MF是基于正面反馈建模的，用户交互过才会有数据记录。然而，用户没有交互过的数据，可能是他还没看过该数据，也可能他不喜欢，看到了也没查阅该数据。不管是没看过，还是不喜欢，在矩阵中都只是"0"值。为了采样负面反馈数据，有几种做法：
   1. 把缺失数据都当做负面反馈，施加一个统一的值^[1]。Robin Devooght认为ρ = α(nm − |R|)/|R|,比较好。p=1时，为观测值与已观测值重要性相等。也是这么做的，以便降低计算复杂度。然而，这种假设在现实世界中是无效的、不合理的。
2. 大部分算法是基于离线数据的，因此难以跟上快速变换的在线数据。

隐式反馈容易获取，但难以利用，因为不易挖掘其中的负面反馈信息。

3. 准备工作

3.1 隐式反馈中的MF

通常预测分数是依靠特征向量想成得到的：

人们通常会再加一个偏置：

Hu提出可以再加一个权重w ^[2]：

3.2 ALS效率优化

一般来说，目标函数是

通过求导数=0的点，我们可以得到极值

image.png

时间复杂度是：

但是矩阵求逆的时间复杂度太大。Hu^[2]提出给那些未观测到数据的元素都赋予固定的权重w0。

image.png

从而时间复杂度变为：

但上式的前半部分在

时依旧占据着主要的开销。更何况后半部分的时间复杂度也大于SGD，SGD的时间复杂度如下：

3.3 逐元素处理的ALS

我们可以一个一个元素地处理，比如下式：

把导数设为0，我们可以得到：

image.png

同理，对于商品特征向量，有：

时间复杂度：
可以降到

image.png

如果提前计算

则时间复杂度甚至能降到

image.png

4. eALS

4.1 缺失值处理

提出了以下公式：

ci表示没用户点击的item i是true negative的概率。ci如何表示，是一个问题。

4.1.1 流行程度相关的权重策略

上文的ci可以表达为以下公式，该公式考虑了被观测item的流行程度：

fi的表达如下：

意思就是： 浏览过物品i的人数 / ∑每个物品被浏览过的人数。

α一般取0.5效果较好，取1以上时会加重流行的item重要性。
另外，统一权重的方法相当于上面公式中α=0且w0 = c0/N的时候。

4.2 学习公式

时间复杂度如下：

最快的依然是基于SGD的BPR，因为后者只对部分的缺失数据进行采样、学习。

4.3 在线更新

每次出现新交互(u,i)时，更新的时间复杂度如下：

总结

1. 最关键的是，eALS的公式学习不是基于梯度下降，而是用一步到位的计算公式。该公式的效率比其他同类型(一步到位)的公式要高。也正因为一步到位计算，它必须对每个空缺位置进行填充。(一般填0，但权重不填0)。
2. 它对于每个缺失位置都进行了填充，只是其权重不是固定值，而是一个与对应item的流行度相关的值。物品越流行，则其不被某用户点击时，施加的"惩罚"越大。
3. 速度最快的还是BPR，因为后者不会填充所有缺失位置，而是只填充部分空缺。当然，由于采用梯度下降的方法，也不要求user-item交互矩阵填充所有空缺。

疑问

结合本文4.1.1的公式，有两个疑问：

1. 我觉得还是没把"未被观测"和"未被点击"的人所区分开。一个很流行的物品没有被某个user购买，没准是因为这个user真的没见过这个物品，但公式会因为物品很流行，强行认为user不喜欢该物品。
2. 就算r_ui^2(user对item是否产生交互的预测值)考虑了user对item的喜好程度，那预测值，则当item缺失没被user看到过，而未被user点击时，其施加的惩罚应当更低吧？然而公式会使得这个惩罚更高。

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1. Robin Devooght. Dynamic Matrix Factorization with Priors
   on Unknown Values. ↩

2. Y. Hu, Y. Koren, and C. Volinsky. Collaborative filtering
   for implicit feedback datasets ↩ ↩