黄金分割和斐波那契数列

我们把一条线段分割为两部分,使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比.其比值是一个无理数,取其前三位数字的近似值是0.618.由于按此比例设计的造型十分美丽,因此称为黄金分割,也称为中外比.这是一个十分有趣的数字,我们以0.618来近似,通过简单的计算就可以发现：

1/0.618=1.618 (1-0.618)/0.618=0.618

这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域,而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用.下面让我们首先从一个数列开始,它的前面几个数是：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…..这个数列的名字叫做"菲波那契数列",这些数被称为"菲波那契数".特点是即除前两个数（数值为1）之外,每个数都是它前面两个数之和.

菲波那契数列与黄金分割有什么关系呢?经研究发现,相邻两个菲波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的.即f(n)/f(n-1)-→0.618….由于菲波那契数都是整数,两个整数相除之商是有理数,所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数.但是当我们继续计算出后面更大的菲波那契数时,就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的.

接下来便是斐波那契数列的公式推断：
斐波那契数列：1，1，2，3，5，8，13，21……

如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。那么这句话可以写成如下形式：
F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)

显然这是一个线性递推数列。

通项公式的推导方法一：利用特征方程

线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.

则F(n)=C1X1^n + C2X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1X1 + C2X2
C1X1^2 + C2X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5

∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】

通项公式的推导方法二：普通方法

设常数r,s
使得F(n)-rF(n-1)=s[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1

n≥3时，有
F(n)-rF(n-1)=s[F(n-1)-rF(n-2)]
F(n-1)-rF(n-2)=s[F(n-2)-rF(n-3)]
F(n-2)-rF(n-3)=s[F(n-3)-rF(n-4)]
……
F(3)-rF(2)=s[F(2)-rF(1)]

将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-rF(n-1)=[s^(n-2)][F(2)-rF(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+rF(n-1)

那么：
F(n)=s^(n-1)+rF(n-1)
= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2F(n-2)
= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2*s(n-3) + r^3F(n-3)
……
= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2*s(n-3) +……+ r^(n-2)s + r^(n-1)F(1)
= s^(n-1) + rs^(n-2) + r^2s^(n-3) +……+ r^(n-2)s + r^(n-1)
（这是一个以s^{(n-1)为首项、以r}(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）
=[s^(n-1)-r(n-1)r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)

r+s=1, -rs=1的一解为 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}

参考资料： http://baike.baidu.com/view/816.htm
而黄金分割的公式如下：

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