平板边界层的解

布拉休斯（Blasius）解

问题的转化

对于二维定常层流（平板或曲面）边界层问题，边界层方程可写作：
$\begin{split} u{{\partial u} \over{\partial x}}+v{{\partial u}\over{\partial y}} = &-{1 \over \rho} {dp \over dx}+\nu {\partial^2u\over \partial y^2} \\ {\partial u \over \partial x} +& {\partial v \over \partial y}=0 \end{split} \tag1$
根据式（1）中的第2式，即连续方程，引入流函数

将式（2）代入（1）中的第一个方程，得到
${\partial \psi \over \partial y}{\partial^2 \psi \over \partial x \partial y}-{\partial \psi \over \partial x}{\partial^2 \psi \over \partial x \partial y}=-{1 \over \rho} {dp \over dx} + \nu {\partial^3 \psi \over \partial y^3} \tag3$
问题转化成求解一个函数。

求速度分布的位流解

位流解就是指平面内除边界层部分外，其他区域的速度表达式，我们显然知道：

在边界层外缘，应用伯努利方程：，得到：

将式（4）代入式（3）中，得到

此时边界条件为：
$\begin{split} u = {\partial \psi \over \partial y}=0,v=-{\partial \psi \over \partial x}=0(y=0)\\ u_{y \rightarrow \infty }=({\partial \psi \over \partial y})_{y \rightarrow \infty}=V_{\infty}(y \rightarrow \infty) \end{split} \tag6$
问题转化为在式（6）的边界条件下，求解式（5）。

相似律假设

引进一个变量

根据相似律，导出

验证：
由得：。
相似律认为，和同时从0到1，故而应有：。（这里有）。
比较以上两式，有。在边界层方程推导过程中，我们有。因而，所以等式理论上可以成立。

由式（8）导出
$u={\partial \psi \over \partial y}={\partial \psi \over \eta}{\partial \eta \over \partial y}=V_{\infty}f'(\eta)\\ v=-{\partial \psi \over \partial x}=-({\partial \sqrt{\nu x V_{\infty}}\over \partial x}f(\eta)+ \sqrt{\nu x V_{\infty}}{\partial f \over \eta }{\partial \eta \over \partial x})={1 \over 2}\sqrt{\nu V_{\infty} \over x}(\eta f'-f)\\ {\partial^2 \psi \over \partial y^2}={\partial u \over \partial y}={\partial u \over \partial \eta}{\partial \eta \over \partial y}=V_{\infty}f''(\eta){1 \over \sqrt{\nu x /V_{\infty}}}=\sqrt{V_{\infty}/\nu x}V_{\infty}f''(\eta)\\ {\partial^2 \psi \over \partial x \partial y}={\partial u \over \partial x}=V_{\infty}f''(\eta){\partial \eta \over \partial x}=-V_{\infty}{y \over 2x}\sqrt{V_{\infty}\over \nu x}f''(\eta)=-{V_{\infty}\over 2x}\eta f''(\eta)\\ {\partial ^3 \psi \over \partial y^3}={\partial({\partial ^2\psi \over \partial y^2 })\over \partial y}=\sqrt{V_{\infty}/\nu x}V_{\infty}f'''(\eta){\partial \eta \over \partial y}={V^2_{\infty}\over \nu x}f'''(\eta)$
将以上诸式代入式（5）并化简得：

边界条件（6）相应转化成：

式（9）是一个三阶非线性常微分方程，式（10）提供三个边界条件，所以可解。

非线性常微分方程的求解

假设：

式中为待定常数。

由式（10）中前两个条件易得。

故有
$f(\eta) ={A_2 \over 2!}\eta^2+{A_3\over3!}\eta^3+\dots+{A_n\over n!}\eta^n+\cdots\\ f''(\eta)=A_2+A_3\eta+\dots+{A_n\over (n-2)!}\eta^{n-2}+\cdots\\ f'''(\eta)=A_3+A_4\eta+{A_5\over2!}\eta^2+\dots+{A_n\over (n-3)!}\eta^{n-3}+\cdots$
将以上诸式代入式（9）并整理得：

由的任意性，各系数必须同时为零，即：

继续迭代下去，则所有不为零的系数均可以用来表示，而是一个待定常数。令，则

式中：

由

布拉休斯定得。（谁能告诉我这常数怎么定？）

求摩擦应力

根据牛顿粘性定律

可得

式中，式（13）即为沿平板的摩擦应力分布，大小与的平方根成反比。

表面摩擦力或摩擦阻力（）是来自流体和有相对运动物体“表面”的摩擦力，和湿表面积（即物体和流体接触的表面积）有关。表面摩擦力和寄生阻力中的其他成分类似，可以用阻力方程表示，而且大约和速度平方成正比。
表面摩擦力系数可以用下式定义：

其中，是壁面摩擦应力，是流体密度，是自由流场的速度（边界层外）

因此，表面摩擦力系数为

假设平板的宽度为1，长度为，则平板表面的阻力系数（摩擦力引起）为

即摩擦阻力系数与雷诺数的平方根成反比

阻力方程是流体力学中计算一物体在流体中运动，所受到阻力的方程式，由瑞利勋爵提出。形式如下：

其中，是阻力（施力平行流场方向的分量），是流体密度，是流体相对物体的速度，是阻力系数（无量纲），是参考面积。

求边界层厚度

由

得，当时，认为到达边界层外缘。计算得，此时。

所以有

可见，边界层厚度是以指数函数（指数为）形式递增的。

卡门动量积分关系解

参见示意图，在边界层内取控制面。假设流体定常流动，并假设垂直于纸面方向的尺寸为1.对此控制面（体）应用动量定理，来建立边界层的积分关系式。

示意图:

动量积分法示意图.png

假设上有一点处的速度为，则在时间内，通过边界的气流流入的质量为：

同时，通过边界流出的质量为：

因此经过和边界，质量的净流出量为：

由于流动是定常流，且边界没有质量流量，因此，在时间内，边界质量流入量：

同理可得，在时间内，由流进控制面的动量为：

由流出控制面的动量为：

由流进控制面的动量为：

式中，是边界层边界的流速，从进入的气流均为该速度。

故气体通过控制面后的动量变化为：

再考虑控制面边界上的作用力。忽略彻体力，注意到边界层边界上摩擦力为零（），而且及面上的摩擦力在方向上没有分量，故只需考虑，，这三个面上的压力及面上的摩擦力即可。这几个作用力在方向上的分量分别为：

式中下标代表物面。这几个力合力的冲量为：

根据动量定律，气体动量的改变量等于外力的冲量，即

化简为：

式（14）即为定常流的边界层动量积分关系式，也称为卡门-泊尔豪森（Karman-Pohlhausen）动量积分关系式。

下面对式（14）进行变形。

将式（15）、（16）带回式（14）中得：

化简得：
$\begin{split} \tau_w={d\over dx}(\int_0^{\delta} \rho V(V_{\delta}-V)dy)+{dV_\delta\over dx}(\int_0^{\delta} \rho (V_{\delta}-V)dy)\\ ={d\over dx}(V_\delta^2 \int_0^{\delta} \rho {V\over V_{\delta}}(1-{V\over V_{\delta}})dy)+V_{\delta}{dV_\delta\over dx}\int_0^\delta\rho(1-{V\over V_\delta})dy \end{split}\tag{17}$
对于不可压流，式（17）化简为：

以下内容均为不可压流。

位移厚度（质量损失速度）

动量损失厚度

因此，式（18）化简为：

或者为：

上式既适用于层流也适用于湍流边界层。

上式也可以通过直接积分边界层微分方程获得。

对于二维不可压流体边界层方程（不计彻体力）
$连续：{\partial u\over \partial x} +{\partial v\over \partial y}=0\\ 运动：u{\partial u\over \partial x}+v{\partial u\over \partial y}=-{1\over \rho} {dp\over dx}+\nu{\partial ^2u\over \partial y^2}=V_\delta{\partial V_\delta\over\partial x}+\nu{\partial ^2u\over \partial y^2}$
连续方程变形得：

连续方程和运动方程结合得：
$u{\partial u\over \partial x}+u({\partial u\over \partial x}+{\partial v\over \partial y})+v{\partial u\over \partial y}={\partial uu\over \partial x}+{\partial uv\over \partial y}=V_\delta{\partial V_\delta\over\partial x}+{1\over \rho}{\partial \tau\over \partial y}(\tau = \rho \nu {\partial u\over \partial y})$
两式相减得：

在边界层内积分上式，有：

由于，整理上式即为Karman积分。

参考资料：《空气动力学》（钱翼稷编著）