图像的等距变换，相似变换，仿射变换，射影变换

 

 

　 今天，我们学习一下图像（2维平面）到图像（2维平面）的四种变换，等距变换，相似变换，仿射变换，投影变换 首先介绍它的原理，最后介绍matlab的实现

1.数学基础

射影变换矩阵HH属于射影群PL(n)PL(n)中的一个，仿射群是由PL(3)PL(3)中最后一行为(0,0,1)(0,0,1)的矩阵组成的子群，包括仿射群，欧式群，其中欧式群是仿射群的子群，其左上角的矩阵是正交的，当它的行列式为1是称为定向欧式群，距离是欧式群的不变量，但不是相似群的不变量，而夹角是这两个群的不变量。

听了这么多群，不变量的数学概念，可能有点晕，下面我用最直观的语言解释。线性空间中的线性变换可以用矩阵来描述，因此我们用矩阵来刻画这四种变换。我们以数学系的经典代数入门教材北大版的《高等代数》为例，研究这些变换是如何进行的

2. 等距变换

等距变换（isometric transform），保持欧式距离不变，当图像中的点用齐次坐标表示时，变换矩阵如下所示：

⎛⎝⎜x′y′1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜εcos(θ)εsin(θ)0−εsin(θ)−εcos(θ)0txty1⎞⎠⎟⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟

当ε=1ε=1是保向的，ε=−1ε=−1是逆向的，等距变换可以更简单的写成 

x′=HEx=(R0t1)xx′=HEx=(Rt01)x

其中RR是旋转矩阵。tt是平移矢量，有3个自由度（1旋转角θθ+两个平移tx,tytx,ty），需要2组点4个方程求解，等距变换的不变量是:长度，角度，面积。用matlab实现等距变换如下：

clear;close all;clc
I=imread('book1.jpg');
figure,imshow(I);
[w,h]=size(I);
theta=pi/4;
t=[100,100];s=0.5;
% test Eucludian transform
H_e=projective2d([cos(theta) -sin(theta) t(1);              sin(theta)  cos(theta) t(2);                  0           0       1]');
newimg=imwarp(I,H_e);
figure,imshow(newimg);

 

可以看出，等距变换就是对图像的旋转+平移

3. 相似变换

相似变换（similarity transform）：等距变换+均匀缩放，当图像中的点用齐次坐标表示时，变换矩阵如下所示：

⎛⎝⎜x′y′1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜scos(θ)ssin(θ)0−ssin(θ)−scos(θ)0txty1⎞⎠⎟⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟(x′y′1)=(scos⁡(θ)−ssin⁡(θ)txssin(θ)−scos⁡(θ)ty001)(xy1)

当s=1s=1是保向的，s=−1s=−1是逆向的，相似变换可以更简单的写成

x′=HSx=(sR0t1)xx′=HSx=(sRt01)x

其中RR是旋转矩阵。tt是平移矢量，ss是缩放尺度，有4个自由度（1旋转角θθ+2个平移tx,tytx,ty+1个缩放尺度），需要2组点4个方程求解，相似变换的不变量是:角度，长度的比例，面积的比例。用matlab实现相似变换如下：

clear;close all;clc
I=imread('book1.jpg');
figure,imshow(I);
[w,h]=size(I);
theta=pi/4;
t=[100,100];s=0.5;%% test similar transform
H_s=projective2d([s*cos(theta) -s*sin(theta) t(1);                  s*sin(theta)  s*cos(theta) t(2);                     0           0       1]');
newimg=imwarp(I,H_s);
figure,imshow(newimg);

 

可以看出，等距变换就是对图像的旋转+平移+缩放，这个图相对原图是变小了一些。

4. 仿射变换

仿射变换（affine transform）：非奇异变换+均匀缩放，当图像中的点用齐次坐标表示时，变换矩阵如下所示：

⎛⎝⎜x′y′1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜a11a210a12a220txty1⎞⎠⎟⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟(x′y′1)=(a11a12txa21a22ty001)(xy1)

仿射变换可以更简单的写成

x′=HAX=(A0t1)xx′=HAX=(At01)x

其中AA是仿射矩阵。tt是平移矢量，ss是缩放尺度，有6个自由度（4个仿射矩阵的元素+2个平移tx,tytx,ty），需要3组点6个方程求解。这里多说一句，仿射变换的AA矩阵是可以做SVD分解的，即：

A=R(θ)R(−ϕ)DR(ϕ)A=R(θ)R(−ϕ)DR(ϕ)

D=diag(λ1,λ2)D=diag(λ1,λ2)仿射变换AA可以看作是一个旋转ϕϕ+x,yx,y方向按照比例因子λ1,λ2λ1,λ2的缩放+回转−ϕ−ϕ+旋转θθ的复合变换，
仿射变换的不变量是:平行线，平行线的长度的比例，面积的比例。用matlab实现仿射变换如下：

clear;close all;clcI=imread('book1.jpg');
figure,imshow(I);
[w,h]=size(I);theta=pi/4;t=[100,100];s=0.5;
%% test affine transformH_a=projective2d([1 0.5 t(1);
                 0 0.5 t(2);
                 0 0  1]');newimg=imwarp(I,H_a);
figure,imshow(newimg);

 

可以看出，仿射变换就是对图像的旋转+平移+缩放+切变（shear），相比前两种变换图像的形状发生了改变，但是原图中的平行线仍然保持平行。

5. 射影变换

射影变换（projection transform）：当图像中的点的齐次坐标的一般非奇异线性变换。有些文献中把射影变换矩阵称为单应性矩阵变换矩阵如下所示：

⎛⎝⎜x′y′1⎞⎠⎟=⎛⎝⎜h11h21h31h12h22h32h13h231⎞⎠⎟⎛⎝⎜xy1⎞⎠⎟(x′y′1)=(h11h12h13h21h22h23h31h321)(xy1)

仿射变换可以更简单的写成

x′=HAX=(AvTtv)xx′=HAX=(AtvTv)x

其中AA是旋转矩阵。tt是平移矢量，ss是缩放尺度，有8个自由度（矩阵中的8个h），需要4组点8个方程求解。同样的，射影变换的AA矩阵是可以做分解的，QR分解，SVD分解都有各自不同的含义。我们常说的矩阵内外参数矩阵就是QR分解中的一种（QR分解不唯一），即把单应性矩阵分解成=内参矩阵××外参矩阵 。给定世界坐标系中的二维平面，用相机对二维平面拍照，通过对应点求拍摄照片的单应性矩阵（射影矩阵）的过程就称为相机标定,直接用代数的方法求解参数会有一定的误差，在张正友的标定方法中，讲的就是如何通过迭代使得误差最小。具体可以见我写的第一篇文章张正友相机标定法。对一般的两张照片也可以求单应性矩阵，具体的应用就是把其中的一张变换到另一张上，进一步可以做图像融合。
射影变换的不变量是:长度的交比。用matlab实现射影变换如下：

clear;close all;clcI=imread('book1.jpg');
figure,imshow(I);
[w,h]=size(I);theta=pi/4;t=[100,100];s=0.5;
%% test projective transformH_P=projective2d([0.765,-0.122,-0.0002;
                 -0.174,0.916,9.050e-05;
                  105.018,123.780,1]);newimg=imwarp(I,H_P);
figure,imshow(newimg);

可以看出，射影变换就是对图像的旋转+平移+缩放+切变+射影，相比前三种变换图像的形变更为自由，原图中的平行线经过变换之后已经不在平行，而可能相交于一点，射影变换就是把理想点（平行直线在无穷远处相交）变换到图像上。

6 应用

说了这么多，下边举一个简单的小应用，就是把通过求两幅对应点的单应性矩阵（射影矩阵），把一种图片变换成另一张的形状。如图：
选择两幅图像对应的四个点
第一幅

第二幅

变换的结果

 
这样就成功把第二幅图片变成第一副图片的角度
下面附上代码

%% Initial
clear;
clc;
img_num=2;  %the number of image
compress_scale=0.4;  %define image compress scale
points_p=[0 0;1 0;2 1;2 0]; %define cordinate of 2D plain in 3D space 


%% define a cell that load image

Image=cell(1,img_num);

%% read the imageImage{1,1}=imread('book1.jpg');Image{1,2}=imread('book2.jpg');%% image compression, transform rgb to gray, and select feature points   
feature=[];
for i=1:img_num
    Image{1,i}=imresize(Image{1,i},compress_scale);
    I{:,:,i}=Image{1,i};
    Image{1,i}=rgb2gray(Image{1,i});
    imshow(Image{1,i});
    hold on;
    for j=1:4
        [x,y]= ginput(1);        %select the corner
        x=round(x);
        y=round(y);
        plot(x,y,'ro');
        feature(j,2*i-1)=x;     %feature is a matrix containing corner cordination 
        feature(j,2*i)=y;endclose all;end       %% calculate homegraphy matrix for each matrix
featurep1=feature(:,1:2);
featurep2=feature(:,3:4);
h = calc_homography(featurep2, featurep1);
Im=I{:,:,2};

[a,b]=size(I);
tform=projective2d(h);
J=imwarp(Im,tform);    % matlab自带的处理图像变换的函数
figure,imshow(I{:,:,1});
figure,imshow(I{:,:,2});
figure,imshow(J)

函数calc_homegraphy的代码如下：

function T = calc_homography(points1, points2)

    xaxb = points2(:,1) .* points1(:,1);
    xayb = points2(:,1) .* points1(:,2);
    yaxb = points2(:,2) .* points1(:,1);
    yayb = points2(:,2) .* points1(:,2);

    A = zeros(size(points1, 1)*2, 9);
    A(1:2:end,3) = 1;A(2:2:end,6) = 1;A(1:2:end,1:2) = points1;A(2:2:end,4:5) = points1;A(1:2:end,7) = -xaxb;A(1:2:end,8) = -xayb;A(2:2:end,7) = -yaxb;A(2:2:end,8) = -yayb;A(1:2:end,9) = -points2(:,1);A(2:2:end,9) = -points2(:,2);[~,~,V] = svd(A);
    h = V(:,9) ./ V(9,9);
    T= reshape(h,3,3);end