线性代数的本质-6.逆矩阵、列空间与零矩阵

线性方程组的矩阵化表示（向量方程）：

可以将线性方程组看作是对一个空间向量Ｘ进行线性变换，得到向量V。Ａ代表线性变换，x代表变换前的向量，v代表变换后得到的向量。
方程的解依赖于A所代表的变换，A将空间降维压缩（二维变成点或线，三维变成点、线、面，行列式det(A)=0）还是保持原来的维度(行列式det(A)≠0)，有无解是不一样的。

行列式不为０，逆矩阵

det(A)≠0时，可以像倒带一样，找相对Ａ的逆向变换，那么就能得到满足Ax=v的向量x。这个逆向变换就叫A的逆矩阵。

Ａ变换和它的逆变换相继作用，相当于什么都不做，比如先逆时针转90度、再顺时针转90度，还是原来的位置。这也叫 恒等变换。
所以在Ax=v中，找到A的逆也就能得出x了。

只要det(A)≠0，就存在A的逆。

行列式为０，秩

行列式为０，表示A变换将空间压缩到了更低维度，那么A就没有逆变换了，正如你无法将一条线“解压缩”为一个平面。
不存在逆变换，Ax=v向量方程也可能有解。如Ａ将二维空间压缩成一条直线，而v恰好在这条直线上。

秩

用秩来表示变换后空间的维数。
变换结果是一维时，该变换的秩(Rank)为１。
变换结果是二维时，该变换的秩为２。

列空间

所有可能的变换结果的集合，就叫列空间。

前面已经说过，矩阵的列代表基向量变换后的位置，变换后的基向量张成的空间就是所有可能的变换结果，也即矩阵的列空间。
换名话说， 列空间就是矩阵的列所张成的空间。
秩，确切说就是列空间的维数。

零空间

变换后落在原点的向量的集合，就叫矩阵的零空间或核。零空间就是下面向量方程所有可能的解：

上图中的向量被压缩成如下图所示的原点：

总结

每个线性方程组都有一个线性变换与之联系，逆变换存在时就能用逆变换求解方程组，逆变换不存在时，列空间的概念让我们清楚什么时候存在解，什么时候不存在解，零空间的概念有助于我们理解所有可能的解的集合是什么样的。