回溯算法详解及Leetcode经典例题解答

什么是回溯法？

在程序设计中，有相当一类求一组解，或求全部解或求最优解的问题，例如读者熟悉的八皇后问题，不是根据某种特定的计算法则，而是利用试探和回溯的搜索技术求解。回溯法也是设计递归过程的一种重要方法，它的求解过程实质上是一个先序遍历一棵"状态树"的过程,只是这棵树不是遍历前预先建立的,而是隐含在遍历过程中。
—《数据结构》(严蔚敏)
首先，某种问题的解我们很难去找规律计算出来，没有公式可循，只能列出所有可能的解，然后一个个检查每个解是否符合我们要找的条件，也就是通常说的遍历。而解空间很多是树型的，就是树的遍历。

其次，树的先序遍历，也就是根是先被检查的，二叉树的先序遍历是根，左子树，右子树的顺序被输出。如果把树看做一种特殊的图的话，DFS就是先序遍历。所以，回溯和DFS是联系非常紧密的，可以认为回溯是DFS的一种应用场景。另外，DFS有个好处，它只存储深度，不存储广度。所以空间复杂度较小，而时间复杂度较大。

最后，某些解空间是非常大的，可以认为是一个非常庞大的树，此时完全遍历的时间复杂度是难以忍受的。此时可以在遍历的同时检查一些条件，当遍历某分支的时候，若发现条件不满足，则退回到根节点进入下一个分支的遍历。这就是“回溯”这个词的来源。而根据条件有选择的遍历，叫做剪枝或分枝定界。

LeetCode784字母大小写全排列
给定一个字符串S，通过将字符串S中的每个字母转变大小写，我们可以获得一个新的字符串。返回所有可能得到的字符串集合。
思路：用回溯法，从位置0开始，如果不是字符，就直接添加到字符串temp后，临时保存，继续向下深度搜索，如果是字符，就分别进行按大小写字母回溯，当temp达到S的长度时，就保存结果，返回到上层，继续回溯。

 public List letterCasePermutation(String S) {
        Listlist=new ArrayList();
        String temp="";
        dfs(S,0,temp,list);
        return list;
    }
    public void dfs(String s,int i,String temp,List list){
        if(i==s.length())
            list.add(temp);
            return ;
        char c=s.charAt(i);
        if(!Character.isLetter(c)){
            dfs(s,i+1,temp+c,list);//是数字，就添加上继续回溯
        }else{//不是数字，就要分大小写进行回溯
            dfs(s,i+1,temp+Character.toUpperCase(c),list);
            dfs(s,i+1,temp+Character.toLowerCase(c),list);
        }
    }

LeetCode78子集
给定一组不含重复元素的整数数组 nums，返回该数组所有可能的子集（幂集）。

说明：解集不能包含重复的子集。
思路：此题求解的树空间是二叉树，对于每一个数组中的元素，都可以分为两种情况，加入和不加入

 public List> subsets(int[] nums) {
    List> list = new ArrayList<>();
    Listli=new ArrayList<>();
    backtrack(list, li, nums, 0);
    return list;
}

private void backtrack(List> list , List tempList, int [] nums, int start){
    
    list.add(new ArrayList<>(tempList));
    for(int i=start;i

leetcode 46全排列
给定一个没有重复数字的序列，返回其所有可能的全排列。
思路：解空间树是排列树，从根节点回溯到底，则把结果保存起来，向上回溯，为保证不重复，则相同元素要过滤掉。

public List> permute(int[] nums) {
        List> list=new ArrayList<>();
        Listl=new ArrayList<>();
        backtrack(nums,list,l);
        return list;
    }
    private void backtrack(int []nums,List> list,Listl){
        if(l.size()==nums.length){
            list.add(new ArrayList<>(l));
        }else{
            for(int i=0;i

leetcode39组合总数
给定一个无重复元素的数组 candidates 和一个目标数 target ，找出 candidates 中所有可以使数字和为 target 的组合。

candidates 中的数字可以无限制重复被选取。
思路：和前面求解子集的题一样的思路，不同的是每次递归可以从本身开始，因为元素可以重复。

public List> combinationSum(int[] candidates, int target) {
        List> list=new ArrayList<>();
        Listl=new ArrayList<>();
        Arrays.sort(candidates);
        back(list,l,candidates,target,0);
        return list;
    }
    private void back( List> list, ListtempList,int []nums,int remain,int start){
      if(remain < 0) return;
      else if(remain == 0) list.add(new ArrayList<>(tempList));
      else{ 
        for(int i = start; i < nums.length; i++){
            tempList.add(nums[i]);
            back(list, tempList, nums, remain - nums[i], i); // not i + 1 because we can reuse same elements
            tempList.remove(tempList.size() - 1);
        }
    }
    }