反向传播

简介

误差反向传播算法简称反向传播算法(Back Propagation)。使用反向传播算法的多层感知器又称为BP神经网络。

BP算法是一个迭代算法，它的基本思想如下：

1. 将训练集数据输入到神经网络的输入层，经过隐藏层，最后达到输出层并输出结果，这就是前向传播过程。
2. 由于神经网络的输出结果与实际结果有误差，则计算估计值与实际值之间的误差，并将该误差从输出层向隐藏层反向传播，直至传播到输入层；
3. 在反向传播的过程中，根据误差调整各种参数的值（相连神经元的权重），使得总损失函数减小。
4. 迭代上述三个步骤（即对数据进行反复训练），直到满足停止准则。

示例

有如下一个神经网络：

第一层是输入层，包含两个神经元 $i_1$，$i_2$ 和偏置项 $b_1$；第二层是隐藏层，包含两个神经元 $h_1$，$h_2$ 和偏置项 $b_2$；第三层是输出 $o_1$，$o_2$。每条线上标的 $w_i$ 是层与层之间连接的权重。激活函数是 $sigmod$ 函数。我们用 $z$ 表示某神经元的加权输入和；用 $a$ 表示某神经元的输出。

上述各参数赋值如下：

参数	值
$i_1$	0.05
$i_2$	0.10
$w_1$	0.15
$w_2$	0.20
$w_3$	0.25
$w_4$	0.30
$w_5$	0.40
$w_6$	0.45
$w_7$	0.50
$w_8$	0.55
$b_1$	0.35
$b_2$	0.60
$o_1$	0.01
$o_2$	0.99

Step 1 前向传播

输入层 —> 隐藏层

神经元 $h_1$ 的输入加权和：

神经元 $h_1$ 的输出 $a_{h1}$ ：
$$a_{h1}=\frac{1}{1+e^{-z_{h1}}}=\frac{1}{1+e^{-0.3775}}=0.593269992$$
同理可得，神经元 $h_2$ 的输出 $a_{h2}$ ：
$$a_{h2}=0.596884378$$

隐藏层 —> 输出层

计算输出层神经元 $o1$ 和 $o2$ 的值：

前向传播的过程就结束了，我们得到的输出值是 $[0.751365069,0.772928465]$ ，与实际值 $[0.01,0.99]$ 相差还很远。接下来我们对误差进行反向传播，更新权值，重新计算输出。

Step 2 反向传播

1. 计算损失函数：

$$E_{total}=\sum \frac{1}{2}(target-output{)}^2$$

但是有两个输出，所以分别计算 $o_1$ 和 $o_2$ 的损失值，总误差为两者之和：
$$\begin{gathered} E_{o_1}=\frac{1}{2}(0.01-0.751365069{)}^2=0.274811083 \\ {E}_{o_2}=\frac{1}{2}(0.99-0.772928465{)}^2=0.023560026 \\ {E}_{total}=E_{o_1}+E_{o_2}=0.274811083+0.023560026=0.298371109 \end{gathered}$$

2. 隐藏层 —> 输出层的权值更新

以权重参数 $w_5$ 为例，如果我们想知道 $w_5$ 对整体损失产生了多少影响，可以用整体损失对 $w_5$ 求偏导：
$$\frac{\partial E_{total}}{\partial w_5}=\frac{\partial E_{total}}{\partial a_{o_1}}\ast \frac{\partial a_{o_1}}{\partial z_{o_1}}\ast \frac{\partial z_{o_1}}{\partial w_5}$$
下面的图可以更直观了解误差是如何反向传播的：

我们现在分别来计算每个式子的值：

计算 $\frac{\partial E_{total}}{\partial a_{o_1}}$ ：
$$\begin{gathered} E_{total}=\frac{1}{2}(targe{t}_{o_1}-a_{o_1}{)}^2+\frac{1}{2}(targe{t}_{o_2}-a_{o_1}{)}^2 \\ \frac{\partial E_{total}}{\partial a_{o_1}}=2\ast \frac{1}{2}(targe{t}_{o_1}-a_{o_1})\ast -1 \\ \frac{\partial E_{total}}{\partial a_{o_1}}=-(targe{t}_{o_1}-a_{o_1})=0.751365069-0.01=0.741365069 \end{gathered}$$
计算 $\frac{\partial E_{total}}{\partial a_{o_1}}$ ：
$$\begin{gathered} a_{o_1}=\frac{1}{1+e^{-z_{o_1}}} \\ \frac{\partial a_{o_1}}{\partial z_{o_1}}=a_{o_1}\ast (1-a_{o_1})=0.751365069\ast (1-0.751365069)=0.186815602 \end{gathered}$$
计算 $\frac{\partial z_{o_1}}{\partial w_5}$ ：
$$\begin{gathered} z_{o_1}=w_5\ast a_{h1}+w_6\ast a_{h2}+b_2\ast 1 \\ \frac{\partial z_{o_1}}{\partial w_5}=a_{h_1}=0.593269992 \end{gathered}$$
最后三者相乘：
$$\frac{\partial E_{total}}{\partial w_5}=0.741365069\ast 0.186815602\ast 0.593269992=0.082167041$$
这样我们就算出整体损失 $E_{total}$ 对 $w_5$ 的偏导值。
$$\frac{\partial E_{total}}{\partial w_5}=-(targe{t}_{o_1}-a_{o_1})\ast a_{o_1}\ast (1-a_{o_1})\ast a_{h_1}$$
针对上述公式，为了表达方便，使用 ${\delta }_{o_1}$ 来表示输出层的误差：
$$\begin{gathered} {\delta }_{o_1}=\frac{\partial E_{total}}{\partial a_{o_1}}\ast \frac{\partial a_{o_1}}{\partial z_{o_1}}=\frac{\partial E_{total}}{\partial z_{o_1}} \\ {\delta }_{o_1}=-(targe{t}_{o_1}-a_{o_1})\ast a_{o_1}\ast (1-a_{o_1}) \end{gathered}$$
因此整体损失 $E_{total}$ 对 $w_5$ 的偏导值可以表示为：
$$\frac{\partial E_{total}}{\partial w_5}={\delta }_{o_1}\ast a_{h_1}$$
最后我们来更新 $w_5$ 的值：
$$w_5^{+}=w_5-\eta \ast \frac{\partial E_{total}}{\partial w_5}=0.4-0.5\ast 0.082167041=0.35891648\eta :学习率$$
同理可更新 $w_6,w_7,w_8$ ：
$$\begin{gathered} w_6^{+}=0.408666186 \\ {w}_7^{+}=0.511301270 \\ {w}_8^{+}=0.561370121 \end{gathered}$$

3. 隐藏层 —> 隐藏层的权值更新：

计算 $\frac{\partial E_{total}}{\partial w_1}$ 与上述方法类似，但需要注意下图：

计算 $\frac{\partial E_{total}}{\partial a_{h_1}}$ ：
$$\frac{\partial E_{total}}{\partial a_{h_1}}=\frac{\partial E_{o_1}}{\partial a_{h_1}}+\frac{\partial E_{o_2}}{\partial a_{h_1}}$$

先计算 $\frac{\partial E_{o_1}}{\partial a_{h_1}}$ ：

同理可得：
$$\frac{\partial E_{o_2}}{\partial a_{h_1}}=-0.019049119$$
两者相加得：
$$\frac{\partial E_{total}}{\partial a_{h_1}}=0.055399425-0.019049119=0.036350306$$
计算 $\frac{a_{h_1}}{z_{h_1}}$ ：
$$\frac{a_{h_1}}{z_{h_1}}=a_{h_1}\ast (1-a_{h_1})=0.593269992\ast (1-0.593269992)=0.2413007086$$
计算 $\frac{\partial z_{h_1}}{\partial w_1}$
$$\frac{\partial z_{h_1}}{\partial w_1}=i_1=0.05$$
最后三者相互乘：
$$\frac{\partial E_{total}}{\partial w_1}=0.036350306\ast 0.2413007086\ast 0.05=0.000438568$$

为了简化公式，用 ${\delta }_{h_1}$ 表示隐藏层单元 $h_1$ 的误差：

最后更新 $w_1$ 的权值：
$$w_1^{+}=w_1-\eta \ast \frac{\partial E_{total}}{\partial w_1}=0.15-0.5\ast 0.000438568=0.149780716$$
同理，更新 $w_2,w_3,w_4$ 权值：
$$\begin{gathered} w_2^{+}=0.19956143 \\ {w}_3^{+}=0.24975114 \\ {w}_4^{+}=0.29950229 \end{gathered}$$
这样，反向传播算法就完成了，最后我们再把更新的权值重新计算，不停地迭代。在这个例子中第一次迭代之后，总误差 $E_{total}$ 由0.298371109下降至0.291027924。迭代10000次后，总误差为0.000035085，输出为$[0.015912196,0.984065734](原输入为[0.01,0.99]$ ，证明效果还是不错的。

公式推导

符号说明

符号	说明
$n_l$	网络层数
$y_j$	输出层第 $j$ 类标签
$S_l$	第 $l$ 层神经元个数（不包括偏置项）
$g(x)$	激活函数
$w_{ij}^l$	第 $l-1$ 层的第 $j$ 个神经元连接到第 $l$ 层第 $i$ 个神经元的权重
$b_i^l$	第 $l$ 层的第 $i$ 个神经元的偏置
$z_i^l$	第 $l$ 层的第 $i$ 个神经元的输入加权和
$a_i^l$	第 $l$ 层的第 $i$ 个神经元的输出（激活值）
${\delta }_i^l$	第 $l$ 层的第 $i$ 个神经元产生的错误

推导过程

基本公式

梯度方向传播公式推导

初始条件

递推公式

反向传播伪代码

1. 输入训练集。
2. 对于训练集的每个样本 $x$ ，设输入层对应的激活值为 $a^l$ ：
   • 前向传播：$z^l=w^l\ast a^{l-1}+b^l,a^l=g(z^l)$
   • 计算输出层产生的误差：${\delta }^L=\frac{\partial J(\theta )}{\partial a^L}\odot g^{\prime }(z^L)$
   • 反向传播错误：${\delta }^l=((w^{l+1}{)}^T\ast {\delta }^{l+1})\odot g^{\prime }(z^l)$
3. 使用梯度下降训练参数：
   • $w^l⇢w^l-\frac{\alpha }{m}{\sum }_x{\delta }^{x,l}\ast (a^{x,l-1}{)}^T$
   • $b^l⇢b^l-\frac{\eta }{m}{\sum }_x{\delta }^{x,l}$

交叉熵损失函数推导

对于多分类问题，$softmax$ 函数可以将神经网络的输出变成一个概率分布。它只是一个额外的处理层，下图展示了加上了 $softmax$ 回归的神经网络结构图：

递推公式仍然和上述递推公式保持一致。初始条件如下：

$softmax$ 偏导数计算：
$$\frac{\partial y_j^p}{\partial a_i^{nl}}=\{\begin{array}{r}-y_i^p\ast y_j^{p}i̸=j\\ y_i^p\ast (1-y_i^p)i=j\end{array}$$

推导过程

---

参考自：

• https://www.cnblogs.com/charlotte77/p/5629865.html?tdsourcetag=s_pcqq_aiomsg
• https://blog.csdn.net/u014313009/article/details/51039334
• https://www.cnblogs.com/nowgood/p/backprop2.html?tdsourcetag=s_pcqq_aiomsg