A-03 牛顿法和拟牛顿法

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牛顿法和拟牛顿法

牛顿法(Newton method)和拟牛顿法(quasi-Newton method)和梯度下降法一样也是求解最优化问题的常用方法，但是他们的收敛速度比梯度下降法快。牛顿法是迭代算法，每一步都需要求目标函数的海森矩阵的逆矩阵，计算复杂；拟牛顿法通过正定矩阵近似海森矩阵的逆矩阵，简化这个计算过程。

一、牛顿法详解

1.1 无约束最优化问题

对于一个约束问题
\[ \underbrace{min}_{x\in{R^n}}f(x) \]
其中\(x^*\)为目标函数的极小点。

1.2 牛顿法迭代公式

假设\(f(x)\)具有二阶连续偏导数，如果第\(k\)次迭代值为\(x^{(k)}\)，则可以把\(f(x)\)在\(x^{(k)}\)附近使用二阶泰勒展开
\[ f(x)=f(x^{(k)})+g_k^T(x-x^{(k)})+\frac{1}{2}(x-x^{(k)})^TH(x^{(k)})(x-x^{(k)}) \]
其中\(g_k=g(x^{(k)})=\nabla{f(x^{(k)})}\)是\(f(x)\)的梯度向量在点\(x^{(k)}\)的值，\(H(x^{(k)})\)是\(f(x)\)的海森矩阵
\[ H(x)=[\frac{\partial^2f}{\partial{x_i}\partial{x_j}}]_{m*n} \]
在点\(x^{(k)}\)的值。函数\(f(x)\)有极值的必要条件是在极值点处一阶导数为0，即梯度向量为0。特别是当\(H(x^{(k)})\)是正定矩阵的时候，函数\(f(x)\)的极值为极小值。
牛顿法利用极小点的必要条件
\[ \nabla{f(x)}=0 \]
每次迭代中从点\(x^{(k)}\)开始，求目标函数的极小点，作为第\(k+1\)次迭代值\(x^{(k+1)}\)，即假设\(x^{(k+1)}\)满足
\[ \nabla{f(x^{(k+1)}}=0 \]
通过泰勒二阶展开式即可得
\[ \nabla{f(x)}=g_k+H_k(x-x^{(k)}) \]
其中\(H_k=H(x^{(k)})\)，由此\(\nabla{f(x^{(k+1)}}=0\)变成
\[ g_k+H_k(x^{(k+1)}-x^{(k)}) = 0 \]
因此
\[ x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_k^{-1}g_k \]
或
\[ x^{(k+1)}=x^{(k)}+p_k \]
其中
\[ \begin{align} & x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_k^{-1}g_k=x^{(k)}+p_k \\ & -H_k^{-1}g_k=p_k \\ & H_kp_k=-g_k \end{align} \]
使用\(x^{(k+1)}=x^{(k)}-H_k^{-1}g_k\)作为迭代公式的算法就是牛顿法。

1.3 牛顿法和梯度下降法

从本质上去看，牛顿法是二阶收敛，梯度下降是一阶收敛，所以牛顿法更快。如果更通俗地说的话，比如你想找一条最短的路径走到一个盆地的最底部，梯度下降法每次只从你当前所处位置选一个坡度最大的方向走一步，牛顿法在选择方向时，不仅会考虑坡度是否够大，还会考虑你走了一步之后，坡度是否会变得更大。所以，可以说牛顿法比梯度下降法看得更远一点，能更快地走到最底部。

虽然牛顿法看起来比梯度下降法好很多，但是别忘记了牛顿法迭代过程中需要计算海森矩阵的逆矩阵，如果数据量较大的话，牛顿法的计算开销将远远大于梯度下降法。

二、牛顿法流程

2.1 输入

目标函数\(f(x)\)，梯度\(g(x)=\nabla{f(x)}\)，海森矩阵\(H(x)\)，精度要求\(\epsilon\)

2.2 输出

\(f(x)\)的极小点\(x^*\)

2.3 流程

1. 取初始点\(x^{(0)}\)，并且让\(k=0\)
2. 计算\(g_k=g(x^{(k)})\)
3. 如果\(||g_k||\leq\epsilon\)，停止计算，得到近似解\(x^*=x^{(k)}\)
4. 计算\(H_k=H(x^{(k)})\)，并求出\(p_k\)
   \[ H_kp_k=-g_k \]
5. 让\(x^{(k+1)}=x^{(k)}+p_k\)
6. 让\(k=k+1\)，转到第2步

在第4步求\(p_k\)的时候，\(p_k=-H_k^{-1}g_k\)，要求求海森矩阵的逆矩阵\(H_k^{-1}\)，计算会比较复杂。

三、拟牛顿法简介

在牛顿法的迭代中，需要计算海森矩阵的逆矩阵\(H^{-1}\)，这个过程是比较复杂的，而拟牛顿法则使用了一个\(n\)阶矩阵\(G_k=G(x^{(k)})\)近似替代\(H_k^{-1}=H^{-1}(x^{(k)})\)，此处不多赘述。