组合数问题 解题报告

组合数问题（NOIP2016提高组Day2T1）

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【题目描述】 

组合数表示的是从n个物品中选出m个物品的方案数。举个例子，从（1,2,3) 三个物品中选择两个物品可以有（1,2),(1,3),(2,3)这三种选择方法。根据组合数的定 义，我们可以给出计算组合数的一般公式： 

 
其中n! = 1×2×···×n 

小葱想知道如果给定n,m和k，对于所有的0<=i<= n，0<=j<= min(i,m)有多少对 (i,j)满足是k的倍数。

【输入格式】

第一行有两个整数t,k，其中t代表该测试点总共有多少组测试数据，k的意义见【问题描述】。 
接下来t行每行两个整数n,m，其中n,m的意义见【问题描述】。

【输出格式】

t行，每行一个整数代表答案。

【输入样例1】

1 2 
3 3

【输出样例1】

1

【输入样例2】

2 5 
4 5 
6 7

【输出样例2】

0 
7

【数据范围】

首先明显地，这题我们要求组合数，那就必须用到组合数的递推公式：C(i,j)=C(i-1,j)+C(i-1,j-1)，其实就是杨辉三角的递推式。

因为要满足是k的倍数，因此枚举所有范围内的组合数，对k取模就可以直接判断了。

*以下，满足条件的组合数指能被k整除的组合数（既是k的倍数的组合数个数）

不过，为了提高效率，我们可以进行进一步的优化，就是预处理出组合数从而求出所有区间的满足条件的组合数个数，这里就要用到二维前缀和。

设a[i][j]为在C([1,i]（从1到i）,[1,j]（从1到j）)内满足条件的组合数个数，初始时，在算组合数C(i,j)时对其mod k，若得0则被k整除，a[i][j]=1；在递推时，类似于一维前缀和，a[i][j]应当对于i和j分别递推，即传递a[i-1][j]和a[i][j-1]的值，由容斥原理可得：a[i][j]+=a[i-1][j]+a[i][j-1]-a[i-1][j-1]；这是因为a[i-1][j]和a[i][j-1]都包含了a[i-1][j-1]，因此a[i-1][j-1]被加了两次，故要减去一次。

代码：

#include
#include
using namespace std;
	int t,k;
	int a[2001][2001];
	int ans[2001][2001];
	int n[10001],m[10001];
int main()
{
	int x=0;
	scanf("%d%d",&t,&k);
	for (int i=1;i<=t;i++) 
	{
		scanf("%d%d",&n[i],&m[i]);
		if (n[i]>x) x=n[i]; //只要算出所询问的最大范围内的组合数即可，效率优化
	}
	for (int i=1;i<=x;i++)
	{
		a[1][i]=i%k;
		if (a[1][i]==0) ans[1][i]++;
	}
	for (int i=2;i<=x;i++) //组合数递推过程
		for (int j=2;j<=i;j++)
		{
			a[j][i]=(a[j-1][i-1]+a[j][i-1])%k;
			if (a[j][i]==0) ans[j][i]++;
		}
	for (int i=1;i<=x;i++) //二维前缀和递推过程
		for (int j=1;j<=x;j++)
			ans[j][i]+=ans[j-1][i]+ans[j][i-1]-ans[j-1][i-1];
	for (int i=1;i<=t;i++) printf("%d\n",ans[min(n[i],m[i])][n[i]]);
}