空间向量的应用

其实这个是计算几何哒！
文化课真好.jpg
好吧其实是单纯的发现老师没讲点线距和线线距有些好奇而已

定性分析

线面平行

在面上找两条不共线的向量，如果该线能用这两个向量线性表示，则线面平行。
a→∈α,b→∈α,a→≠kb→,l→=λa→+μb→⇒l→//α

线面垂直

在面上找两条不共线的向量，如果与该线均垂直，则线面垂直。
a→∈α,b→∈α,a→≠kb→,l→⋅a→=0,l→⋅b→=0⇒l→⊥α
坐标运算：
a→=(x1,y1,z1),b→=(x2,y2,z2),l→=(x0,y0,z0)
则 x1x0+y1y0+z1z0=0 且 x2x0+y2y0+z2z0=0

定量分析

法向量

法向量是与一个面垂直的向量。
求法：设出法向量 n→=(i,j,k) ， 然后带入线面垂直的公式，设其中一个变量的值，即可求出法向量
例如，如果 a→=(x1,y1,z1),b→=(x2,y2,z2)
则

{x1i+y1j+z1k=0x2i+y2j+z2k=0

可以解出i, j, k之间的关系，随便设一个即可求出法向量

求角度

异面直线所成角

直接带公式即可
cosθ=|a→⋅b→||a→|⋅|b→|

线面角

线与面之间的角的正弦值就是线与法向量的夹角的余弦值
sinθ=|a→⋅n→||a→|⋅|n→|

二面角

二面角为法向量的夹角或者补角，需要具体分析。
如果一个面法向量在沿公共棱旋转之后(可以想象为将书页合上)能够与另一个面的法向量重合则表明为夹角。

cosθ=n→⋅m→|n→|⋅|m→|

求距离

点线距

T 为线外一点， Q 为线上一点， n→ 为方向向量，则

d=QT⋅|sin<QT−→−,n→>|=QT⋅1−cos<QT−→−,n→>2−−−−−−−−−−−−−−−−√

其中，

cos<QT−→−,n→>=|QT−→−⋅n→||QT−→−|⋅|n→|

然而这样是很复杂的，我们可以引入一个概念：叉积
n→×m→ 表示一条方向在右手系中符合右手定则、模为 |n→||m→|sinθ 的向量
坐标运算：
如果 n→=(x1,y1,z1),m→=(x2,y2,z2) ，那么 n→×m→=(y1z2−y2z1,x2z1−x1z2,x1y2−x2y1)
从而，

d=QT⋅|sin<QT−→−,n→>|=QT⋅|QT−→−×n→||QT−→−|⋅|n→|=|QT−→−×n→||n→|

平行直线之间的距离

可以找一点然后求解点线距

异面直线之间的距离

首先引入公共法向量的概念。
两条直线的公共法向量是与两条直线同时垂直的向量，解法可以直接联立：
如果 a→=(x1,y1,z1),b→=(x2,y2,z2),n→=(i,j,k)
则 {x1i+y1j+z1k=0x2i+y2j+z2k=0 ，同求解平面的法向量的过程。
在 a,b 上任取两点 Q,T ，设 QT−→−=(x0,y0,z0) ，则 d=QT⋅|cos<QT−→−,n→>|=|QT−→−|⋅|QT−→−⋅n→||QT−→−|⋅|n→|=|QT−→−⋅n→||n→|

点到面的距离

Q 为面外一点，在面上任取一点 T ，面的法向量为 i
那么显然
d=QT⋅|cos<QT−→−,n→>|=|QT−→−|⋅|QT−→−⋅n→||QT−→−|⋅|n→|=|QT−→−⋅n→||n→|
其实和上面那个是一样哒！

平行于面的直线到面的距离、平行平面间的距离

找一个点求即可。