机器学习中的相似性度量方法

1.欧氏距离（Euclidean Distance）

欧式距离全称是欧几里距离，源自欧式空间中两点间的距离公式。
1.平面空间内两点a(x1,y1),b(x2,y2)的欧式距离为：

2.三维空间里的欧氏距离

2.马氏距离（Mahalanobis Distance）

基础知识
1.方差：方差是标准差的平方，而标准差的意义是数据集中各个点到均值点距离的平均值。反应的是数据的离散程度。
2.协方差：标准差与方差是描述一维数据的，当存在多维数据时，我们通常需要知道每个维数的变量中间是否存在关联。协方差就是衡量多维数据集中，变量之间相关性的统计量。比如说，一个人的身高与他的体重的关系，这就需要用协方差来衡量。如果两个变量之间的协方差为正值，则这两个变量之间存在正相关，若为负值，则为负相关。
3.协方差矩阵，当变量多了，超过两个变量了。那么，就用协方差矩阵来衡量这么多变量之间的相关性。假设 XX是以 n 个随机变数（其中的每个随机变数是也是一个向量，当然是一个行向量）组成的列向量：

其中，μi是第i个元素的期望值，即μi=E(Xi)。协方差矩阵的第i,j项（第i,j项是一个协方差）被定义为如下形式：

即：

矩阵中的第 (i,j) 个元素是 Xi 与 Xj 的协方差。
马氏距离
Mahalanobis距离是表示数据的协方差距离。它是一种有效的计算两个未知样本集的相似度的方法。与欧氏距离不同的是它考虑到各种特性之间的联系。
1.单个数据点的马氏距离

2.数据点x, y之间的马氏距离

其中Σ是多维随机变量的协方差矩阵，μ为样本均值，如果协方差矩阵是单位向量，也就是各维度独立同分布，马氏距离就变成了欧氏距离。

3.余弦相似度（Cosine）

4.汉明距离（Hamming Distance）

5.曼哈顿距离（Manhattan Distance）

6.皮尔逊相关系数（Pearson）

7.KL 散度（ KL-Divergence）

KL 散度又叫相对熵（relative entropy），可以衡量概率分布之间的距离 。KL散度是描述两个概率分布P和Q之间差异的一种方法。直观地说，可以用来衡量给定任意分布偏离真实分布的程度，如果两个分布完全匹配，那么KL(p||q)=0
1.离散概率分布的KL散度计算公式:

2.连续概率分布的KL散度计算公式：

在 Softmax 回归（或者 Logistic 回归），最后的输出节点上的值表示这个样本分到该类的概率，这就是一个概率分布。对于一个带有标签的样本，我们期望的概率分布是：分到标签类的概率是 1， 其他类概率是 0。我们不可能得到完美的概率输出，能做的就是尽量减小总样本的 KL 散度之和（目标函数）。这就是 Softmax 回归或者 Logistic 回归中 Cost function 的优化过程。