基于Excel的QR二维码生成工具——原理及算法详解（之二）

在前一篇文章中，我们探索了在Excel中通过一组工作表函数计算出了伽罗华域 GF(2 8 )  的全部元素：

{1,2,4,…,142} 

,但是这只是RS纠错码计算的第一步基础工作。接下来，我们还需要研究如何构建“生成多项式 g(x)  ”，并且探索如何在Excel中实现多项式的求余以便实现RS纠错码的计算。

RS码通常可以表示为 RS(n,k)  的形式， n  和 k  都是正整数且 n>k  。其中 n  表示数据码加上纠错码的长度，而 k  表示数据码的长度， n−k  为纠错码的长度。一般来说，所谓的数据码就是一串由正整数组成的一维数组，数组中的每一个元素的取值都必须在伽罗华域的元素集合内。由于一个字节取值正好在0~255之间，正好可以与 GF(2 8 )  的元素一一对应，这就是为什么在计算机领域 GF(2 8 )  的应用最为广泛的缘故之一。因此，在计算QR的RS纠错码时，所有的数据一定都是通过某种规则首先编成一组0~255之间的整数数组的，而且这个数组中元素的数量一定等于 k  ，这样通过计算后能得到另外一个数组，其元素同样是0~255之间的整数，且数量为 n−k  ，这个数组就是纠错码。将两个数组连接在一起，数据码在前，纠错码在后，连接成一个长度为 n  的数组，就形成了完整的RS纠错编码。

为了完成上述计算，通常将所有的数组都写成多项式的形式，其中每一项的系数就是编码各位置上的元素，比如，要计算以下数据码的 RS(9,3)  码：
其中， n=9,k=3  ，因此数据码有三个码字：
数据码：

{123,76,91} 

而生成的完整RS码应该有9个码字：

{123,76,91,EC 0 ,EC 1 ,EC 2 ,EC 3 ,EC 4 ,EC 5 } 

其中 EC i (0<i<5)  表示纠错码的六个码字。为了完成上述计算，我们应该首先将数据码字写成多项式的形式：

123x 2 +76x 1 +91x 0  

而为了使计算完成的纠错码有九个元素，在计算之前先将多项式乘以 x 6   以便获得足够的幂次：

x 6 (123x 2 +76x 1 +91x 0 )=123x 8 +76x 7 +91x 6  

接下来，使用这个多项式对所谓的“生成多项式 g(x)”求余。关于生成多项式的构件下文还会详细解释，这里我们只需要知道针对每一个不同的  n-k 其生成多项式的计算公式为： 

g(x)=(x+a)(x+a 2 )(x+a 3 )⋯(x+a n−k ) 

其中 a  就是 GF(2 8 )  上的“本原元”而且使用伽罗华域的运算法则（参见上一篇文章）。 g(x)  在Excel中的生成算法后文再讨论，这里先直接给出 (n−k)=6  的生成多项式如下：

g(x)=1x 6 +126x 5 +4x 4 +158x 3 +58x 2 +49x+117 

用 GF(2 8 )  的本原元 a  的幂次表示则是：

g(x)=a 0 x 6 +a 167 x 5 +a 2 x 4 +a 137 x 3 +a 9 x 2 +a 181 x+a 21  

因为我们知道伽罗华域上的元素都可以表示为 a n   的形式，因此上面两个式子完全是等价的

接下来，只要将数据码多项式对生成多项式求余，就可以得到EC多项式了:

EC=(123x 8 +76x 7 +91x 6 ) mod g(x)=199x 5 +42x 4 +174x 3 +181x 2 +134x+95 

从上面的理论计算过程可以发现，在Excel中实现的难点有两个：

1. 实现多项式的求余，并且要采用伽罗华域的运算法则
2. 计算生成多项式

上面两个问题都可以通过工作表函数来实现，当然，VBA也没问题，下面先探讨工作表函数的方法。
首先需要解决伽罗华域上的加法和乘法的问题，伽罗华域上的加法其实是Xor运算，Excel的工作表并没有给出异或运算的函数，因此我的解决办法是自己写一个工作表函数CALCXOR(n1,n2)用于计算异或：

Private Function calcXor(n1 as long, n2 as long)as long
    calcXor = n1 Xor n2
End Function

而乘法运算的定义是两个元素的本原元幂次相加，因此计算乘法需要两步，首先找出两个本原元的幂次，相加后再找到新的元素值，如：在 GF(2 8 )  上计算123*126的结果，需要将123*126表示为

a 172 ∗a 126 =a 172+126 =a 298 mod 255 =a 43 =32 

在Excel中我简单地做了一张对照表，并使用Vlookup函数查找元素对应的幂次，同时查找幂次对应的元素，这样就可以一步完成乘法计算：

接下来，就需要完成多项式的求余，如果我们将多项式的系数写在表格中，那么前面的例子可以列表如下：

N	x 8	x 7	x 6	x 5	x 4	x 3	x 2	x 1	x 0
除数 g(x)	1	126	4	158	58	49	117
被除数（数据码）	123	76	91	0	0	0	0	0	0
商1： 123∗g(x)	123	32	82	97	94	230	3
余数1（数据Xor商1）	0	108	9	97	94	230	3
商2： 108∗g(x)	0	108	187	72	168	82	11	136
余数2（余数1Xor商2）	0	0	178	41	246	180	8	136
商3： 178∗g(x)	0	0	178	238	220	26	189	14	95
余数3（余数2Xor商3）	0	0	0	199	42	174	181	134	95

于是，根据上表最终计算出余数，就是数据码的纠错码多项式，因此完整的纠错码多项式为：

{123,76,91,199,42,174,181,134,95} 

在Excel中我使用了一系列的工作表函数填充到类似上表的单元格中，完成了计算纠错码的任务：
上图中，Codeword后的那一列是数据码的输入，黄色底纹的单元格则是计算结果。图中可以看到计算的是RS(26,19)，也就是说19个输入码字，输出7个纠错码字。一般来说，使用这样的工作表函数阵列，只需要重复乘数* g(x)  ，再用上一次的计算结果Xor乘积就可以了，跟笔算除法的规则非常类似，并且重复 k  次，就得到正确的纠错码了

在这篇文章里，我们讨论了使用工作表函数计算RS纠错码，下一篇文章里，我们再来看如何计算生成多项式 g(x)  ，并且讨论使用VBA计算RS纠错码