【机器学习之小算法】最大似然法 Maximum Likelihood Method
我想很多人立马有答案：70%。这个答案是正确的。可是为什么呢？（常识嘛！这还要问？！）其实，在很多常识的背后，都有相应的理论支持。在上面的问题中，就有最大似然法的支持。
在很久以前的一个下午，自己在图书馆看书，书中讲到了同一独立分布（i.i.d., identical and independent distribution），与概率相关。当时已经听说最大似然法很长时间了，最大似然法在不同场合应用的结论看过不少，但自己还没有真正地学习和应用过。突然想到了上面的例子（类似的例子在自己以后的阅读很常见，当时没有意识到自己到底以前看过类似的例子没有），决定自己动手算一算。
下面会有一些数学，我知道西河比较深，大牛比较多，看了不要见笑。有意见和建议尽管提。
我们假设罐中白球的比例是p，那么黑球的比例就是1-p。因为每抽一个球出来，在记录颜色之后，我们把抽出的球放回了罐中并摇匀，所以每次抽出来的球的颜色服从同一独立分布。这里我们把一次抽出来球的颜色称为一次抽样。题目中在一百次抽样中，七十次是白球的概率是P(Data | M)，这里Data是所有的数据，M是所给出的模型，表示每次抽出来的球是白色的概率为p。如果第一抽样的结果记为x1，第二抽样的结果记为x2，。。。那么Data = (x1,x2,...,x100)。这样，
P(Data | M)
= P(x1|M)P(x2|M)...P(x100|M)
= p^70(1-p)^30.
那么p在取什么值的时候，P(Data |M)的值最大呢？将p^70(1-p)^30对p求导，并其等于零。
70p^69(1-p)^30-p^70*30(1-p)^29=0。
解方程可以得到p=0.7。
在边界点p=0,1，P(Data|M)=0。所以当p=0.7时，P(Data|M)的值最大。这和我们常识中按抽样中的比例来计算的结果是一样的。
当时，自己推到完这些，心情很高兴，感觉自己理解了最大似然法。接着想到了连续变量。
假如我们有一组连续变量的采样值（x1,x2,...,xn），我们知道这组数据服从正态分布，标准差已知。请问这个正态分布的期望值为多少时，产生这个已有数据的概率最大？
P(Data | M) = ??
求导，u=(x1+x2+...+xn)/n.这个正态分布的期望值，就是这组数据的均值。在我们的日常生活和工作中，我们经常会用到平均值，这是有道理的，可以用最大似然法来解释。如果数据服从正态分布，这是最可能的数据。
当我第一次自己推导出这些的时候，心中有一种豁然开朗、恍然大悟的感觉：最大似然法就这样！
最大似然法原理简单，应用很广。举个例子，这样的情况在生活会经常遇到。假如人们会感染一种病毒，有一种测试方法，在被测试者已感染这个病毒时，测试结果为阳性的概率为95%。在被测试者没有感染这个病毒时，测试结果为阳性的概率为2%。现在，有一个人的测试结果为阳性，问这个人感染了病毒吗？根据最大似然法，如果一个人感染病毒，95%的测试结果会为阳性；而如果这个人没有感染病毒，只有2%的测试结果会为阳性，所以这个人应该是已经感染病毒了。
最大似然法应用广泛，但是经常会受到一种批评，而且对于这种批评，尤其在数据量比较小的时候，最大似然法的支持者没有很多充分的反驳理由：在最大似然法中，只考虑了由一个模型产生一个已知数据的概率，而没有考虑模型本身的概率。相对应的考虑了模型本身概率的方法，是贝叶斯方法（Bayesian method)。
在上面测试病毒的例子中，如果我们知道在整体人群中，只有1%人会感染这种病毒，那么，根据贝叶斯方法，这个被测试者只有1/3左右的可能性感染了病毒{1%*95%/(1%*95%+99%*2%)=32.4%}
在这里，我们看到先验概率对结果的影响很大。
不过，当数据量比较大的时候，先验概率的影响就会减小。比如，人们在被检测出感染了一个严重的病毒后，一般会去其他医院复查。假如同一个人在三家医院进行了独立的检查，结果都是阳性。那么，这个人真正感染了病毒的概率有多大？在这个人感染病毒时，出现这种检测结果的可能性为95%*95%*95% = 85.7%；而在这个人没有感染病毒时，出现这种检测结果的可能性为2%*2%*2% = 0.000008。根据最大似然法，我们应选择这个人感染了病毒。
根据贝叶斯方法，这个人感染病毒的概率为1%*95%*95%*95%/(1%*95%*95%*95%+99%*2%*2%*2%) = 99.9%。
极大似然估计，顾名思义是一种估计方法。既然是一种估计方法，我们至少必须搞清楚几个问题：估计什么？需要什么前提或假设？如何估计？估计的准确度如何？
直观概念，最大似然估计：
给定：模型（参数全部或者部分未知）和数据集（样本）
估计：模型的未知参数。
基本思想：
这一方法是基于这样的思想：我们所估计的模型参数，要使得产生这个给定样本的可能性最大。在最大释然估计中，我们试图在给定模型的情况下，找到最佳的参数，使得这组样本出现的可能性最大。举个极端的反面例子，如果我们得到一个中国人口的样本，男女比例为3:2，现在让你估计全国人口的真实比例，你肯定不会估计为男：女=1:0。因为如果是1:0，不可能得到3:2的样本。我们大多很容易也估计为3:2，为什么？样本估计总体？其背后的思想其实最是最大似然。
在机器学习的异常检测中，根据模型（通过学习得来的）计算一个数据点出现的概率，如果这个概率小于某个我们事先设定的值，就把它判为异常。我们基于的是一个小事件的思想：如果一件可能性极小的事情竟然发生了，那么就极有可能是异常。举个例子，我这辈子跟奥巴马成为哥们的可能性几乎为零，如果哪一天我跟奥巴马在烧烤摊喝3块钱一瓶的啤酒，那么绝对叫异常。
例子1：估计高斯分布的均值和方差
假设我们有一组来自高斯分布（均值和方差未知）的独立样本x[1]、x[2]、...、x[N],即
X[n] ~ N(u,t^2), n=1,2,...,N (注，本文中方差均匀t^2代替)
简单起见，我们假设这些观测值都是相同独立的，也就是这些观测值独立同分布（iid）。现在让你从这些样本中估计均值u和方差，如何下手？最大似然估计来帮你解决。
1）既然是idd，那么联合概率密度f(x[1],...,x[N]; u,t^2)=f(x[1] ; u,t^2)*...*f(x[N]; u,t^2)，带入高斯分布得到：
我们把这个式子叫做似然函数，用来衡量从模型中产生这个样本组的可能性大小，我们记为L（x[1],...,x[n]; u,t^2）.除以样本容量平均一下，就叫平均对数似然。这个函数有变量x[1],...x[N],还有u，t^2.现在我们换个角度看，把x[1]到x[N]看成是固定的，而u和t^2可能自由变化。根据基本思想，我们下一步就是要找到使得这个似然函数达到最大值的u和t^2的取值。
2）给定样本值之后，我们要求出上面式子最大值，由于ln函数是单调递增函数，我们将L取对数，得到
L = 
首先求L达到最大时u的值，取u的导数，令导数为0，得到u的估计值
接着把方差t^2看成一个变量，求导，令其等于零得到方差估计值
求解完毕。至于跟真实值差多少，计算比较复杂。有个定律是，如果有足够多的样本，那么我们可以使估计值达到任意的精度。极端情况下，样本就是总体，估计值就等于真实值。
例子2：人口比例
地球人都知道，概率模型中，取值可以使连续的（例子1就是），也可以是离散的。我们来看看离散的情况，人口比例。
假设现在有一个中国人口的样本组，样本容量为1000，服从独立同分布，男女比例为3:2.如何通过合理推到估计全国的人口比例（也就是证明样本估计总体的可行性）。一样用最大释然估计，我们现在的模型是个离散模型，我们假设其参数p为男性人口比例。现在要估计的就是这个p的值.
同上面一样，可以得到似然函数L=(p^600)*((1-p)^400),要求p，使得该函数最大，很简单，求导赋零，可以得到p=0.6.
值得说明的是，有些情况下可能存在多个模型参数，同时满足最大似然。另外有可能这个最佳的值是不存在的。最佳的模型参数拟合样本的函数是最好的。
最大似然估计也是统计学习中经验风险最小化（RRM）的例子。如果模型为条件概率分布，损失函数定义为对数损失函数，经验风险最小化就等价于最大似然估计。
小结一下，最大似然估计是在给定模型（含有未知参数）和样本集的情况下，用来估计模型参数的方法。其基本思想是找到最佳的模型参数，使得模型实现对样本的最大程度拟合，也就使样本集出现的可能性最大。