数字图像 - 边缘检测原理 - Sobel, Laplace, Canny算子

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先来看张图，左边是原图，右边是边缘检测后的图，边缘检测就是检测出图像上的边缘信息，右图用白色的程度表示边缘的深浅。

sobel.png

边缘其实就是图像上灰度级变化很快的点的集合。
如何计算出这些变化率很快的点？

1.导数，连续函数上某点斜率，导数越大表示变化率越大，变化率越大的地方就越是“边缘”，但是在计算机中不常用，因为在斜率90度的地方，导数无穷大，计算机很难表示这些无穷大的东西。

2.微分，连续函数上x变化了dx，导致y变化了dy，dy值越大表示变化的越大，那么计算整幅图像的微分，dy的大小就是边缘的强弱了。
微分与导数的关系：dy = f '(x) dx

举个例子：

在连续函数里叫微分，因为图像是离散的，叫差分，和微分是一个意思，也是求变化率。
差分的定义，f '(x) = f(x + 1) - f(x)，用后一项减前一项。
按先后排列 -f(x) + f(x + 1)
提出系数 [-1, 1] 作为滤波模板，跟原图 f(x) 做卷积运算就可以检测边缘了

模板为什么要是奇数的？

因为模板是偶数的话，卷积出来的结果应该是放在中间的，不方便表示。
例如：图像 [10, 20, 30] 跟 [-1, 1] 卷积后的值，应该放在图像 10 跟 20 中间的位置，就是应该放在 0 和 1 号位置的中间，也就是 0.5 号位，但是图像是离散的，中间没得放，只能放在 0 号位，也就是 10 的位置，就偏差了 0.5 的位置，为了方便处理，滤波模板一般都是奇数个的，3，5，7 个的。

Sobel 边缘检测算子

所以用 f '(x) = f(x + 1) - f(x - 1) 近似计算一阶差分。

排好序：[-1 * f(x-1)，0 * f(x)，1 * f(x+1)]
提出系数：[-1, 0, 1]

所以模板 [-1, 1] 被改造成了 [-1, 0, 1]
二维情况下就是

-1, 0, 1
-1, 0, 1
-1, 0, 1

这个就是 Prewitt 边缘检测算子了。

f(x-1, y-1),  f(x, y-1),  f(x+1, y-1)
f(x-1, y),    f(x, y),    f(x+1, y)
f(x-1, y+1),  f(x, y+1),  f(x+1, y+1)

中心点 f(x, y) 是重点考虑的，它的权重应该多一些，所以改进成下面这样的

-1, 0, 1
-2, 0, 2
-1, 0, 1

这就是 Sobel 边缘检测算子，偏 x 方向的。（类似二元函数的偏导数，偏x，偏y）
同理可得

-1, -2, -1
 0,  0,  0
 1,  2,  1

是 sobel 偏 y 方向的算子。

分别计算偏 x 方向的 Gx，偏 y 方向的 Gy，求绝对值，压缩到 [0, 255]
区间，即 G(x, y) = Gx + Gy 就是 sobel 边缘检测后的图像了

Laplace 边缘检测算子

拉普拉斯是用二阶差分计算边缘的，看连续函数的情况下
在一阶微分图中极大值或极小值处，认为是边缘。
在二阶微分图中极大值和极小值之间的过 0 点，被认为是边缘。

拉普拉斯算子推导：
一阶差分：f '(x) = f(x) - f(x - 1)
二阶差分：f '(x) = (f(x + 1) - f(x)) - (f(x) - f(x - 1))
化简后：f '(x) = f(x - 1) - 2 f(x)) + f(x + 1)
提取前面的系数：[1, -2, 1]

二维的情况下，同理可得
f '(x, y) = -4 f(x, y) + f(x-1, y) + f(x+1, y) + f(x, y-1) + f(x, y+1)
提取各个系数，写成模板的形式

0,  1, 0
1, -4, 1
0,  1, 0

考虑两个斜对角的情况

1,  1, 1
1, -8, 1
1,  1, 1

这就是拉普拉斯算子，与原图卷积运算即可求出边缘。

Canny 边缘检测算子

canny计算过程
1.高斯滤波器平滑图像。
2.一阶差分偏导计算梯度值和方向。
3.对梯度值不是极大值的地方进行抑制。
4.用双阈值连接图上的联通点。

通俗说一下，
1.用高斯滤波主要是去掉图像上的噪声。
2.计算一阶差分，OpenCV 源码中也是用 sobel 算子来算的。
3.算出来的梯度值，把不是极值的点，全部置0，去掉了大部分弱的边缘。所以图像边缘会变细。
4.双阈值 t1, t2, 是这样的，t1 <= t2
大于 t2 的点肯定是边缘
小于 t1 的点肯定不是边缘
在 t1, t2 之间的点，通过已确定的边缘点，发起8领域方向的搜索（广搜），图中可达的是边缘，不可达的点不是边缘。
最后得出 canny 边缘图。

三个算子区别

sobel 产生的边缘有强弱，抗噪性好
laplace 对边缘敏感，可能有些是噪声的边缘，也被算进来了
canny 产生的边缘很细，可能就一个像素那么细，没有强弱之分。

下面三张图分别是 sobel，canny，laplace 结果图。

 

sobel算子

canny算子

laplace算子

作者：ck2016
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