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96. 不同的二叉搜索树

给定一个整数 n，求以 1 ... n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解题思路：

这道题实际上是 Catalan Number卡塔兰数的一个例子，如果对卡塔兰数不熟悉的童鞋可能真不太好做。先来看当 n = 1的情况，只能形成唯一的一棵二叉搜索树，n分别为1,2,3的情况如下所示：

 

                    1                        n = 1

                2        1                   n = 2
               /          \
              1            2
  
   1         3     3      2      1           n = 3
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

 

就跟斐波那契数列一样，我们把n = 0 时赋为1，因为空树也算一种二叉搜索树，那么n = 1时的情况可以看做是其左子树个数乘以右子树的个数，左右字数都是空树，所以1乘1还是1。那么n = 2时，由于1和2都可以为跟，分别算出来，再把它们加起来即可。n = 2的情况可由下面式子算出：

dp[2] =  dp[0] * dp[1]　　　(1为根的情况)

　　　　+ dp[1] * dp[0]　　  (2为根的情况)

同理可写出 n = 3 的计算方法：

dp[3] =  dp[0] * dp[2]　　　(1为根的情况)

　　　　+ dp[1] * dp[1]　　  (2为根的情况)

 　　　  + dp[2] * dp[0]　　  (3为根的情况)

由此可以得出卡塔兰数列的递推式为：

我们根据以上的分析，可以写出代码如下：

class Solution {
    public int numTrees(int n) {
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[0] = 1;
        dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i <= n; i++) {
            for(int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i] = dp[j] * dp[i - j - 1] + dp[i];
            }
        }
        return dp[n];
    }
}

98. 验证二叉搜索树

给定一个二叉树，判断其是否是一个有效的二叉搜索树。

假设一个二叉搜索树具有如下特征：

• 节点的左子树只包含小于当前节点的数。
• 节点的右子树只包含大于当前节点的数。
• 所有左子树和右子树自身必须也是二叉搜索树。

示例 1:

输入:
    2
   / \
  1   3
输出: true

示例 2:

输入:
    5
   / \
  1   4
     / \
    3   6
输出: false
解释: 输入为: [5,1,4,null,null,3,6]。
     根节点的值为 5 ，但是其右子节点值为 4 。

/**
 * Definition for a binary tree node.
 * public class TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode left;
 *     TreeNode right;
 *     TreeNode(int x) { val = x; }
 * }
 */
class Solution {
    double preValue = -Double.MAX_VALUE;
    public boolean isValidBST(TreeNode root) {
        if(root == null)
            return true;
        if(isValidBST(root.left)) {
            if(preValue < root.val) {
                preValue = root.val;
                return isValidBST(root.right);
            }
        }
        return false;
    }
    
}