动手学深度学习 - 3.8. 多层感知机

动手学深度学习 - 3.8. 多层感知机

动手学深度学习 - Dive into Deep Learning
Aston Zhang, Zachary C. Lipton, Mu Li, and Alexander J. Smola
https://zh.d2l.ai/

3.8. 多层感知机

包括线性回归和 softmax 回归是单层神经网络。多层感知机 (multilayer perceptron，MLP) 是多层神经网络。

3.8.1. 隐藏层

多层感知机在单层神经网络的基础上引入了一到多个隐藏层 (hidden layer)。隐藏层位于输入层和输出层之间。图 3.3 展示了一个多层感知机的神经网络图。

图 3.3 带有隐藏层的多层感知机。它含有一个隐藏层，该层中有 5 个隐藏单元。

在图 3.3 所示的多层感知机中，输入和输出个数分别为 4 和 3，中间的隐藏层中包含了 5 个隐藏单元 (hidden unit)。由于输入层不涉及计算，图 3.3 中的多层感知机的层数为 2。由图 3.3 可见，隐藏层中的神经元和输入层中各个输入完全连接，输出层中的神经元和隐藏层中的各个神经元也完全连接。多层感知机中的隐藏层和输出层都是全连接层。

具体来说，给定一个小批量样本 $\mathbf{X}\in {\mathbb{R}}^{n\times d}$，其批量大小为 $n$，输入个数为 $d$。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为 $h$。记隐藏层的输出 (也称为隐藏层变量或隐藏变量) 为 $\mathbf{H}$，有 $\mathbf{H}\in {\mathbb{R}}^{n\times h}$。因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为 ${\mathbf{W}}_h\in {\mathbb{R}}^{d\times h}$ 和 ${\mathbf{b}}_h\in {\mathbb{R}}^{1\times h}$，输出层的权重和偏差参数分别为 ${\mathbf{W}}_o\in {\mathbb{R}}^{h\times q}$ 和 ${\mathbf{b}}_o\in {\mathbb{R}}^{1\times q}$。

我们先来看一种含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出 $\mathbf{O}\in {\mathbb{R}}^{n\times q}$ 的计算为

$$\begin{array}{rl}\mathbf{H}& =\mathbf{X}{\mathbf{W}}_h+{\mathbf{b}}_h,\\ \mathbf{O}& =\mathbf{H}{\mathbf{W}}_o+{\mathbf{b}}_o,\end{array}$$

也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来，可以得到

$$\mathbf{O}=(\mathbf{X}{\mathbf{W}}_h+{\mathbf{b}}_h){\mathbf{W}}_o+{\mathbf{b}}_o=\mathbf{X}{\mathbf{W}}_h{\mathbf{W}}_o+{\mathbf{b}}_h{\mathbf{W}}_o+{\mathbf{b}}_o.$$

从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为 ${\mathbf{W}}_h{\mathbf{W}}_o$，偏差参数为 ${\mathbf{b}}_h{\mathbf{W}}_o+{\mathbf{b}}_o$。不难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。

3.8.2. 激活函数

全连接层只是对数据做仿射变换 (affine transformation)，而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数 (activation function)。

3.8.2.1. ReLU函数

ReLU (rectified linear unit) 函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素 $x$，该函数定义为

$$\text{ReLU}(x)=\max (x,0).$$

ReLU 函数只保留正数元素，并将负数元素清零。为了直观地观察这一非线性变换，我们先定义一个绘图函数 xyplot。

In [1]:
% matplotlib inline
import d2lzh as d2l
from mxnet import autograd, nd

def xyplot(x_vals, y_vals, name):
    d2l.set_figsize(figsize=(5, 2.5))
    d2l.plt.plot(x_vals.asnumpy(), y_vals.asnumpy())
    d2l.plt.xlabel('x')
    d2l.plt.ylabel(name + '(x)')

我们接下来通过 NDArray 提供的 relu 函数来绘制 ReLU 函数。可以看到，该激活函数是一个两段线性函数。

In [2]:
x = nd.arange(-8.0, 8.0, 0.1)
x.attach_grad()
with autograd.record():
    y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')

当输入为负数时，ReLU 函数的导数为 0；当输入为正数时，ReLU 函数的导数为 1。尽管输入为 0 时 ReLU 函数不可导，但是我们可以取此处的导数为 0。

In [3]:
y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')

3.8.2.2. sigmoid 函数

sigmoid 函数可以将元素的值变换到 0 和 1 之间：

$$\text{sigmoid}(x)=\frac{1}{1+\exp (-x)}.$$

sigmoid 函数在早期的神经网络中较为普遍，但它目前逐渐被更简单的 ReLU 函数取代。循环神经网络中介绍如何利用它值域在 0 到 1 之间这一特性来控制信息在神经网络中的流动。下面绘制了 sigmoid 函数。当输入接近 0 时，sigmoid 函数接近线性变换。

with autograd.record():
    y = x.sigmoid()
xyplot(x, y, 'sigmoid')

依据链式法则，sigmoid 函数的导数

$${\text{sigmoid}}^{\prime }(x)=\text{sigmoid}(x)\left(1-\text{sigmoid}(x)\right).$$

$$\text{sigmoid}(x)=\frac{1}{1+\exp (-x)}=(1+\exp (-x){)}^{-1}.$$

$$\begin{array}{rl}{\text{sigmoid}}^{\prime }(x)& =(-1)\times (1+\exp (-x){)}^{-2}\times \frac{d(1+\exp (-x))}{dx}\\ & =(-1)\times (1+\exp (-x){)}^{-2}\times \exp (-x)\times (-1)\\ & =(1+\exp (-x){)}^{-2}\times \exp (-x)\\ & =\frac{\exp (-x)}{(1+\exp (-x){)}^2}\\ & =\frac{1+\exp (-x)-1}{(1+\exp (-x){)}^2}\\ & =\frac{1+\exp (-x)}{(1+\exp (-x){)}^2}-\frac{1}{(1+\exp (-x){)}^2}\\ & =\frac{1}{1+\exp (-x)}-\frac{1}{(1+\exp (-x){)}^2}\\ & =\frac{1}{1+\exp (-x)}\left(1-\frac{1}{1+\exp (-x)}\right)\\ & =\text{sigmoid}(x)(1-\text{sigmoid}(x)).\end{array}$$

下面绘制了 sigmoid 函数的导数。当输入为 0 时，sigmoid 函数的导数达到最大值 0.25；当输入越偏离 0 时，sigmoid 函数的导数越接近 0。

In [7]:
y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')

3.8.2.3. tanh 函数

tanh (双曲正切) 函数可以将元素的值变换到 -1 和 1 之间：

$$\text{tanh}(x)=\frac{1-\exp (-2x)}{1+\exp (-2x)}.$$

我们接着绘制 tanh 函数。当输入接近 0 时，tanh 函数接近线性变换。虽然该函数的形状和 sigmoid 函数的形状很像，但 tanh 函数在坐标系的原点上对称。

In [6]:
with autograd.record():
    y = x.tanh()
xyplot(x, y, 'tanh')

依据链式法则，tanh 函数的导数

$${\text{tanh}}^{\prime }(x)=1-{\text{tanh}}^2(x).$$

$$\begin{array}{rl}\text{tanh}(x)& =\frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}\\ & =\frac{1-\exp (-2x)}{1+\exp (-2x)}\\ & =\frac{1-e^{(-2x)}}{1+e^{(-2x)}}\\ & =\frac{(1-e^{(-2x)})e^x}{(1+e^{(-2x)})e^x}\\ & =\frac{e^x-e^{(-x)}}{e^x+e^{(-x)}}\\ & =\frac{e^x+e^{(-x)}-2e^{(-x)}}{e^x+e^{(-x)}}\\ & =1-\frac{2e^{(-x)}}{e^x+e^{(-x)}}.\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}{\text{tanh}}^{\prime }(x)& =0-\frac{d}{dx}\left(\frac{2e^{(-x)}}{e^x+e^{(-x)}}\right)\\ & =-\frac{\left(\frac{d}{dx}(2e^{(-x)})\right)(e^x+e^{(-x)})-(2e^{(-x)})\left(\frac{d}{dx}(e^x+e^{(-x)})\right)}{(e^x+e^{(-x)}{)}^2}\\ & =-\frac{(-2e^{(-x)})(e^x+e^{(-x)})-(2e^{(-x)})(e^x-e^{(-x)})}{(e^x+e^{(-x)}{)}^2}\\ & =\frac{(2e^{(-x)})(e^x+e^{(-x)})+(2e^{(-x)})(e^x-e^{(-x)})}{(e^x+e^{(-x)}{)}^2}\\ & =\frac{(2e^{(-x)})(2e^{(x)})}{(e^x+e^{(-x)}{)}^2}\\ & =\frac{4}{(e^x+e^{(-x)}{)}^2}\\ & =\frac{(e^x+e^{(-x)}{)}^2-(e^x+e^{(-x)}{)}^2+4}{(e^x+e^{(-x)}{)}^2}\\ & =1-\frac{(e^x+e^{(-x)}{)}^2-4}{(e^x+e^{(-x)}{)}^2}\\ & =1-\frac{e^{2x}+e^{(-2x)}+2-4}{(e^x+e^{(-x)}{)}^2}\\ & =1-\frac{e^{2x}+e^{(-2x)}-2}{(e^x+e^{(-x)}{)}^2}\\ & =1-\frac{(e^x-e^{(-x)}{)}^2}{(e^x+e^{(-x)}{)}^2}\\ & =1-{\text{tanh}}^2(x).\end{array}$$

下面绘制了 tanh 函数的导数。当输入为 0 时，tanh 函数的导数达到最大值 1；当输入越偏离 0 时，tanh 函数的导数越接近 0。

In [7]:
y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')

3.8.3.多层感知机

多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿用本节之前定义的符号，多层感知机按以下方式计算输出：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{H}& =\varphi (\mathbf{X}{\mathbf{W}}_h+{\mathbf{b}}_h),\\ \mathbf{O}& =\mathbf{H}{\mathbf{W}}_o+{\mathbf{b}}_o,\end{array}$$

其中 $\varphi$ 表示激活函数。
在分类问题中，我们可以对输出 $\mathbf{O}$ 做 softmax 运算，并使用 softmax 回归中的交叉熵损失函数。
在回归问题中，我们将输出层的输出个数设为 1，并将输出 $\mathbf{O}$ 直接提供给线性回归中使用的平方损失函数。

3.8.5. 小结

• 多层感知机在输出层与输入层之间加入了一个或多个全连接隐藏层，并通过激活函数对隐藏层输出进行变换。
• 常用的激活函数包括 ReLU 函数、sigmoid 函数和 tanh 函数。