动手学深度学习 - 3.8. 多层感知机

动手学深度学习 - 3.8. 多层感知机

动手学深度学习 - Dive into Deep Learning
Aston Zhang, Zachary C. Lipton, Mu Li, and Alexander J. Smola
https://zh.d2l.ai/

3.8. 多层感知机

包括线性回归和 softmax 回归是单层神经网络。多层感知机 (multilayer perceptron,MLP) 是多层神经网络。

3.8.1. 隐藏层

多层感知机在单层神经网络的基础上引入了一到多个隐藏层 (hidden layer)。隐藏层位于输入层和输出层之间。图 3.3 展示了一个多层感知机的神经网络图。

动手学深度学习 - 3.8. 多层感知机_第1张图片

图 3.3 带有隐藏层的多层感知机。它含有一个隐藏层,该层中有 5 个隐藏单元。

在图 3.3 所示的多层感知机中,输入和输出个数分别为 4 和 3,中间的隐藏层中包含了 5 个隐藏单元 (hidden unit)。由于输入层不涉及计算,图 3.3 中的多层感知机的层数为 2。由图 3.3 可见,隐藏层中的神经元和输入层中各个输入完全连接,输出层中的神经元和隐藏层中的各个神经元也完全连接。多层感知机中的隐藏层和输出层都是全连接层。

具体来说,给定一个小批量样本 X ∈ R n × d \boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d} XRn×d,其批量大小为 n n n,输入个数为 d d d。假设多层感知机只有一个隐藏层,其中隐藏单元个数为 h h h。记隐藏层的输出 (也称为隐藏层变量或隐藏变量) 为 H \boldsymbol{H} H,有 H ∈ R n × h \boldsymbol{H} \in \mathbb{R}^{n \times h} HRn×h。因为隐藏层和输出层均是全连接层,可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为 W h ∈ R d × h \boldsymbol{W}_h \in \mathbb{R}^{d \times h} WhRd×h b h ∈ R 1 × h \boldsymbol{b}_h \in \mathbb{R}^{1 \times h} bhR1×h,输出层的权重和偏差参数分别为 W o ∈ R h × q \boldsymbol{W}_o \in \mathbb{R}^{h \times q} WoRh×q b o ∈ R 1 × q \boldsymbol{b}_o \in \mathbb{R}^{1 \times q} boR1×q

我们先来看一种含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出 O ∈ R n × q \boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q} ORn×q 的计算为

H = X W h + b h , O = H W o + b o , \begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h,\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned} HO=XWh+bh,=HWo+bo,

也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来,可以得到

O = ( X W h + b h ) W o + b o = X W h W o + b h W o + b o . \boldsymbol{O} = (\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h)\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o. O=(XWh+bh)Wo+bo=XWhWo+bhWo+bo.

从联立后的式子可以看出,虽然神经网络引入了隐藏层,却依然等价于一个单层神经网络:其中输出层权重参数为 W h W o \boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o WhWo,偏差参数为 b h W o + b o \boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o bhWo+bo。不难发现,即便再添加更多的隐藏层,以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。

3.8.2. 激活函数

全连接层只是对数据做仿射变换 (affine transformation),而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换,例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换,然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数 (activation function)。

3.8.2.1. ReLU函数

ReLU (rectified linear unit) 函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素 x x x,该函数定义为

ReLU ( x ) = max ⁡ ( x , 0 ) . \text{ReLU}(x) = \max(x, 0). ReLU(x)=max(x,0).

ReLU 函数只保留正数元素,并将负数元素清零。为了直观地观察这一非线性变换,我们先定义一个绘图函数 xyplot

In [1]:
% matplotlib inline
import d2lzh as d2l
from mxnet import autograd, nd

def xyplot(x_vals, y_vals, name):
    d2l.set_figsize(figsize=(5, 2.5))
    d2l.plt.plot(x_vals.asnumpy(), y_vals.asnumpy())
    d2l.plt.xlabel('x')
    d2l.plt.ylabel(name + '(x)')

我们接下来通过 NDArray 提供的 relu 函数来绘制 ReLU 函数。可以看到,该激活函数是一个两段线性函数。

In [2]:
x = nd.arange(-8.0, 8.0, 0.1)
x.attach_grad()
with autograd.record():
    y = x.relu()
xyplot(x, y, 'relu')

动手学深度学习 - 3.8. 多层感知机_第2张图片

当输入为负数时,ReLU 函数的导数为 0;当输入为正数时,ReLU 函数的导数为 1。尽管输入为 0 时 ReLU 函数不可导,但是我们可以取此处的导数为 0。

In [3]:
y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')

动手学深度学习 - 3.8. 多层感知机_第3张图片

3.8.2.2. sigmoid 函数

sigmoid 函数可以将元素的值变换到 0 和 1 之间:

sigmoid ( x ) = 1 1 + exp ⁡ ( − x ) . \text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}. sigmoid(x)=1+exp(x)1.

sigmoid 函数在早期的神经网络中较为普遍,但它目前逐渐被更简单的 ReLU 函数取代。循环神经网络中介绍如何利用它值域在 0 到 1 之间这一特性来控制信息在神经网络中的流动。下面绘制了 sigmoid 函数。当输入接近 0 时,sigmoid 函数接近线性变换。

with autograd.record():
    y = x.sigmoid()
xyplot(x, y, 'sigmoid')

动手学深度学习 - 3.8. 多层感知机_第4张图片

依据链式法则,sigmoid 函数的导数

sigmoid ′ ( x ) = sigmoid ( x ) ( 1 − sigmoid ( x ) ) . \text{sigmoid}'(x) = \text{sigmoid}(x)\left(1-\text{sigmoid}(x)\right). sigmoid(x)=sigmoid(x)(1sigmoid(x)).

sigmoid ( x ) = 1 1 + exp ⁡ ( − x ) = ( 1 + exp ⁡ ( − x ) ) − 1 . \text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)} = (1 + \exp(-x))^{-1}. sigmoid(x)=1+exp(x)1=(1+exp(x))1.

sigmoid ′ ( x ) = ( − 1 ) × ( 1 + exp ⁡ ( − x ) ) − 2 × d ( 1 + exp ⁡ ( − x ) ) d x = ( − 1 ) × ( 1 + exp ⁡ ( − x ) ) − 2 × exp ⁡ ( − x ) × ( − 1 ) = ( 1 + exp ⁡ ( − x ) ) − 2 × exp ⁡ ( − x ) = exp ⁡ ( − x ) ( 1 + exp ⁡ ( − x ) ) 2 = 1 + exp ⁡ ( − x ) − 1 ( 1 + exp ⁡ ( − x ) ) 2 = 1 + exp ⁡ ( − x ) ( 1 + exp ⁡ ( − x ) ) 2 − 1 ( 1 + exp ⁡ ( − x ) ) 2 = 1 1 + exp ⁡ ( − x ) − 1 ( 1 + exp ⁡ ( − x ) ) 2 = 1 1 + exp ⁡ ( − x ) ( 1 − 1 1 + exp ⁡ ( − x ) ) = sigmoid ( x ) ( 1 − sigmoid ( x ) ) . \begin{aligned} \text{sigmoid}'(x) & = (-1) \times (1 + \exp(-x))^{-2} \times \frac{d(1 + \exp(-x))}{dx} \\ & = (-1) \times (1 + \exp(-x))^{-2} \times \exp(-x) \times (-1) \\ & = (1 + \exp(-x))^{-2} \times \exp(-x) \\ & = \frac{\exp(-x)}{(1 + \exp(-x))^{2}} \\ & = \frac{ 1 + \exp(-x) - 1}{(1 + \exp(-x))^{2}} \\ & = \frac{ 1 + \exp(-x)}{(1 + \exp(-x))^{2}} - \frac{1}{(1 + \exp(-x))^{2}} \\ & = \frac{1}{1 + \exp(-x)} - \frac{1}{(1 + \exp(-x))^{2}} \\ & = \frac{1}{1 + \exp(-x)}\left(1 - \frac{1}{1 + \exp(-x)}\right) \\ & = \text{sigmoid}(x)(1 - \text{sigmoid}(x)). \end{aligned} sigmoid(x)=(1)×(1+exp(x))2×dxd(1+exp(x))=(1)×(1+exp(x))2×exp(x)×(1)=(1+exp(x))2×exp(x)=(1+exp(x))2exp(x)=(1+exp(x))21+exp(x)1=(1+exp(x))21+exp(x)(1+exp(x))21=1+exp(x)1(1+exp(x))21=1+exp(x)1(11+exp(x)1)=sigmoid(x)(1sigmoid(x)).

下面绘制了 sigmoid 函数的导数。当输入为 0 时,sigmoid 函数的导数达到最大值 0.25;当输入越偏离 0 时,sigmoid 函数的导数越接近 0。

In [7]:
y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')

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3.8.2.3. tanh 函数

tanh (双曲正切) 函数可以将元素的值变换到 -1 和 1 之间:

tanh ( x ) = 1 − exp ⁡ ( − 2 x ) 1 + exp ⁡ ( − 2 x ) . \text{tanh}(x) = \frac{1 - \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}. tanh(x)=1+exp(2x)1exp(2x).

我们接着绘制 tanh 函数。当输入接近 0 时,tanh 函数接近线性变换。虽然该函数的形状和 sigmoid 函数的形状很像,但 tanh 函数在坐标系的原点上对称。

In [6]:
with autograd.record():
    y = x.tanh()
xyplot(x, y, 'tanh')

动手学深度学习 - 3.8. 多层感知机_第6张图片

依据链式法则,tanh 函数的导数

tanh ′ ( x ) = 1 − tanh 2 ( x ) . \text{tanh}'(x) = 1 - \text{tanh}^2(x). tanh(x)=1tanh2(x).

tanh ( x ) = sin x cos x = 1 − exp ⁡ ( − 2 x ) 1 + exp ⁡ ( − 2 x ) = 1 − e ( − 2 x ) 1 + e ( − 2 x ) = ( 1 − e ( − 2 x ) ) e x ( 1 + e ( − 2 x ) ) e x = e x − e ( − x ) e x + e ( − x ) = e x + e ( − x ) − 2 e ( − x ) e x + e ( − x ) = 1 − 2 e ( − x ) e x + e ( − x ) . \begin{aligned} \text{tanh}(x) &= \frac{\text{sin}x}{\text{cos}x}\\ &= \frac{1 - \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}\\ &= \frac{1 - e^{(-2x)}}{1 + e^{(-2x)}}\\ &= \frac{(1 - e^{(-2x)})e^{x}}{(1 + e^{(-2x)})e^{x}}\\ &= \frac{e^{x} - e^{(-x)}}{e^{x} + e^{(-x)}}\\ &= \frac{e^{x} + e^{(-x)} - 2e^{(-x)}}{e^{x} + e^{(-x)}}\\ &= 1 - \frac{2e^{(-x)}}{e^{x} + e^{(-x)}}.\\ \end{aligned} tanh(x)=cosxsinx=1+exp(2x)1exp(2x)=1+e(2x)1e(2x)=(1+e(2x))ex(1e(2x))ex=ex+e(x)exe(x)=ex+e(x)ex+e(x)2e(x)=1ex+e(x)2e(x).

tanh ′ ( x ) = 0 − d d x ( 2 e ( − x ) e x + e ( − x ) ) = − ( d d x ( 2 e ( − x ) ) ) ( e x + e ( − x ) ) − ( 2 e ( − x ) ) ( d d x ( e x + e ( − x ) ) ) ( e x + e ( − x ) ) 2 = − ( − 2 e ( − x ) ) ( e x + e ( − x ) ) − ( 2 e ( − x ) ) ( e x − e ( − x ) ) ( e x + e ( − x ) ) 2 = ( 2 e ( − x ) ) ( e x + e ( − x ) ) + ( 2 e ( − x ) ) ( e x − e ( − x ) ) ( e x + e ( − x ) ) 2 = ( 2 e ( − x ) ) ( 2 e ( x ) ) ( e x + e ( − x ) ) 2 = 4 ( e x + e ( − x ) ) 2 = ( e x + e ( − x ) ) 2 − ( e x + e ( − x ) ) 2 + 4 ( e x + e ( − x ) ) 2 = 1 − ( e x + e ( − x ) ) 2 − 4 ( e x + e ( − x ) ) 2 = 1 − e 2 x + e ( − 2 x ) + 2 − 4 ( e x + e ( − x ) ) 2 = 1 − e 2 x + e ( − 2 x ) − 2 ( e x + e ( − x ) ) 2 = 1 − ( e x − e ( − x ) ) 2 ( e x + e ( − x ) ) 2 = 1 − tanh 2 ( x ) . \begin{aligned} \text{tanh}'(x) &= 0 - \frac{d}{dx} \left( \frac{2e^{(-x)}}{e^{x} + e^{(-x)}} \right)\\ &= - \frac{\left( \frac{d}{dx}(2e^{(-x)}) \right) (e^{x} + e^{(-x)}) - (2e^{(-x)}) \left(\frac{d}{dx}(e^{x} + e^{(-x)})\right)}{(e^{x} + e^{(-x)})^{2}}\\ &= - \frac{(-2e^{(-x)})(e^{x} + e^{(-x)}) - (2e^{(-x)})(e^{x} - e^{(-x)})}{(e^{x} + e^{(-x)})^{2}}\\ &= \frac{(2e^{(-x)})(e^{x} + e^{(-x)}) + (2e^{(-x)})(e^{x} - e^{(-x)})}{(e^{x} + e^{(-x)})^{2}}\\ &= \frac{(2e^{(-x)})(2e^{(x)})}{(e^{x} + e^{(-x)})^{2}}\\ &= \frac{4}{(e^{x} + e^{(-x)})^{2}}\\ &= \frac{(e^{x} + e^{(-x)})^{2} - (e^{x} + e^{(-x)})^{2} + 4}{(e^{x} + e^{(-x)})^{2}}\\ &= 1 - \frac{(e^{x} + e^{(-x)})^{2} - 4}{(e^{x} + e^{(-x)})^{2}}\\ &= 1 - \frac{e^{2x} + e^{(-2x)} + 2 - 4}{(e^{x} + e^{(-x)})^{2}}\\ &= 1 - \frac{e^{2x} + e^{(-2x)} - 2}{(e^{x} + e^{(-x)})^{2}}\\ &= 1 - \frac{(e^{x} - e^{(-x)})^{2}}{(e^{x} + e^{(-x)})^{2}}\\ &= 1 - \text{tanh}^2(x).\\ \end{aligned} tanh(x)=0dxd(ex+e(x)2e(x))=(ex+e(x))2(dxd(2e(x)))(ex+e(x))(2e(x))(dxd(ex+e(x)))=(ex+e(x))2(2e(x))(ex+e(x))(2e(x))(exe(x))=(ex+e(x))2(2e(x))(ex+e(x))+(2e(x))(exe(x))=(ex+e(x))2(2e(x))(2e(x))=(ex+e(x))24=(ex+e(x))2(ex+e(x))2(ex+e(x))2+4=1(ex+e(x))2(ex+e(x))24=1(ex+e(x))2e2x+e(2x)+24=1(ex+e(x))2e2x+e(2x)2=1(ex+e(x))2(exe(x))2=1tanh2(x).

下面绘制了 tanh 函数的导数。当输入为 0 时,tanh 函数的导数达到最大值 1;当输入越偏离 0 时,tanh 函数的导数越接近 0。

In [7]:
y.backward()
xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')

动手学深度学习 - 3.8. 多层感知机_第7张图片

3.8.3.多层感知机

多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络,且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿用本节之前定义的符号,多层感知机按以下方式计算输出:

H = ϕ ( X W h + b h ) , O = H W o + b o , \begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \phi(\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h),\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned} HO=ϕ(XWh+bh),=HWo+bo,

其中 ϕ \phi ϕ 表示激活函数。
在分类问题中,我们可以对输出 O \boldsymbol{O} O 做 softmax 运算,并使用 softmax 回归中的交叉熵损失函数。
在回归问题中,我们将输出层的输出个数设为 1,并将输出 O \boldsymbol{O} O 直接提供给线性回归中使用的平方损失函数。

3.8.5. 小结

  • 多层感知机在输出层与输入层之间加入了一个或多个全连接隐藏层,并通过激活函数对隐藏层输出进行变换。
  • 常用的激活函数包括 ReLU 函数、sigmoid 函数和 tanh 函数。

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