统计学③——总体与样本

一、总体与样本定义

总体：所研究的所有事件的集合
样本：是从总体中抽出的数量相对较小的集合，可用于做出对总体的结论

二、抽样方法

我们希望抽取的样本分布和总体分布一致，这样用样本估计总体会比较准确，这种样本叫作无偏样本。

无偏样本的抽样方法：
① 简单随机抽样：抽签，随机编号生成器，有放回抽样和不放回两种
② 分层抽样：将总体分为几个层，层内部相似，层与层之间差距较大，再对每一层进行简单随机抽样
③ 整群抽样：将总体分为几个群，群与群之间相似，随机抽取几个群作为样本
⑤ 系统抽样：随机选取一个数据K，每次到第K个抽样单位就抽一次

三、总体参数的估计

①总体均值
当通过抽样获得无偏样本后，可以直接用样本的均值来估计总体的均值，如下：


②总体方差
方差是否可以直接用样本方差呢？答案是No，因为方差衡量的是分散性，样本相对总体而言，数量较少，可能会将一些异常值排除在外，导致样本的方差要少于总体

如果要确切知道总体的方差，并且拥有总体的数据，方差的计算如下：

如果需要用样本估计总体的方差，计算如下：

之所以用n-1而不是n,，是因为n-1会使得方差稍微大一些，更接近总体方差

③总体比例
样本比例直接估计总体比例

四、比例抽样分布

当考虑从一个总体中抽取所有大小为n的样本，由这些样本中的某个比例所形成的分布，就叫比例的抽样分布，一般用Ps表示样本比例变量

一般用来求解这类问题：当得知公司生产的糖果有25%的红色的，那么随机抽取100个样本，至少有50%的糖果是红色的概率？

Ps的期望和方差定义为：

如果n>30时，二项分布可以近似为正态分布

需要进行连续性修正

五、均值抽样分布

如果考虑从一个总体中抽出所有大小为n的样本，然后用这些样本的均值形成一个分布，那么这个分布就叫均值抽样分布。

一般用来求解这类问题：总体中每个袋子平均有10颗糖，那么随机抽取一个袋子中糖的个数小于8的概率是多少？

期望和方差的计算如下：

样本的均值期望就是总体的均值，而方差却不等于总体方差，这里是为什么呢？

因为总体方差衡量的是总体样本的分散性，而均值方差衡量的是所有抽取的样本的均值的分散性，是2个不同的东西。用总体的方差/n 表示随着样本数量增多，样本均值方差会越来越小，意味着样本均值越来越接近于总体均值

如果总体符合均值为μ，方差为σ^2的正态分布，那么抽取的样本均值符合如下分布：

如果总体不是正态分布时，那样本均值还会符合上述分布吗？答案是看情况，如果抽取的样本n很大时，还是符合上述分布的，这里要重点引出中心极限定理：

中心极限定理可以运用于：

① 如果总体属于二项分布，用X~B(n,p)表示，n>30，则样本均值的抽样分布近似N(np,pq/n)
② 如果总体属于泊松分布，用Po(λ)表示，n>30，则样本均值的抽样分布近似N(λ,λ/n)

因为均值的抽样分布属于正态分布，就可以通过标准化再差概率表得到特定样本均值的概率了