理解GloVe模型（Global vectors for word representation）
理解GloVe模型
概述
- 模型目标：进行词的向量化表示，使得向量之间尽可能多地蕴含语义和语法的信息。
- 输入：语料库
- 输出：词向量
- 方法概述：首先基于语料库构建词的共现矩阵，然后基于共现矩阵和GloVe模型学习词向量。
Created with Raphaël 2.1.0 开始 统计共现矩阵 训练词向量 结束
统计共现矩阵
设共现矩阵为 X ，其元素为 Xi,j 。
Xi,j 的意义为：在整个语料库中，单词 i 和单词 j 共同出现在一个窗口中的次数。
举个栗子：
设有语料库：
i love you but you love him i am sad
这个小小的语料库只有1个句子，涉及到7个单词：i、love、you、but、him、am、sad。
如果我们采用一个窗口宽度为5（左右长度都为2）的统计窗口，那么就有以下窗口内容：
| 窗口标号 | 中心词 | 窗口内容 |
|---|---|---|
| 0 | i | i love you |
| 1 | love | i love you but |
| 2 | you | i love you but you |
| 3 | but | love you but you love |
| 4 | you | you but you love him |
| 5 | love | but you love him i |
| 6 | him | you love him i am |
| 7 | i | love him i am sad |
| 8 | am | him i am sad |
| 9 | sad | i am sad |
窗口0、1长度小于5是因为中心词左侧内容少于2个，同理窗口8、9长度也小于5。
以窗口5为例说明如何构造共现矩阵：
中心词为love，语境词为but、you、him、i；则执行：
Xlove,but+=1
Xlove,you+=1
Xlove,him+=1
Xlove,i+=1
使用窗口将整个语料库遍历一遍，即可得到共现矩阵 X 。
使用GloVe模型训练词向量
模型公式
先看模型，代价函数长这个样子：
J=∑i,jNf(Xi,j)(vTivj+bi+bj−log(Xi,j))2
vi ， vj 是单词 i 和单词 j 的词向量， bi ， bj 是两个标量（作者定义的偏差项）， f 是权重函数（具体函数公式及功能下一节介绍）， N 是词汇表的大小（共现矩阵维度为 N∗N ）。
可以看到，GloVe模型没有使用神经网络的方法。
模型怎么来的
那么作者为什么这么构造模型呢？首先定义几个符号：
Xi=∑j=1NXi,j
其实就是矩阵单词 i 那一行的和；
Pi,k=Xi,kXi
条件概率，表示单词 k 出现在单词 i 语境中的概率；
ratioi,j,k=Pi,kPj,k
两个条件概率的比率。
作者的灵感是这样的：
作者发现， ratioi,j,k 这个指标是有规律的，规律统计在下表：
| ratioi,j,k 的值 | 单词j,k 相关 | 单词j,k 不相关 |
|---|---|---|
| 单词i,k 相关 | 趋近1 | 很大 |
| 单词i,k 不相关 | 很小 | 趋近1 |
很简单的规律，但是有用。
思想：假设我们已经得到了词向量，如果我们用词向量 vi 、 vj 、 vk 通过某种函数计算 ratioi,j,k ，能够同样得到这样的规律的话，就意味着我们词向量与共现矩阵具有很好的一致性，也就说明我们的词向量中蕴含了共现矩阵中所蕴含的信息。
设用词向量 vi 、 vj 、 vk 计算 ratioi,j,k 的函数为 g(vi,vj,vk) （我们先不去管具体的函数形式），那么应该有：
Pi,kPj,k=ratioi,j,k=g(vi,vj,vk)
即：
Pi,kPj,k=g(vi,vj,vk)
即二者应该尽可能地接近；
很容易想到用二者的差方来作为代价函数：
J=∑i,j,kN(Pi,kPj,k−g(vi,vj,vk))2
但是仔细一看，模型中包含3个单词，这就意味着要在 N∗N∗N 的复杂度上进行计算，太复杂了，最好能再简单点。
现在我们来仔细思考 g(vi,vj,vk) ，或许它能帮上忙；
作者的脑洞是这样的：
1. 要考虑单词 i 和单词 j 之间的关系，那 g(vi,vj,vk) 中大概要有这么一项吧： vi−vj ；嗯，合理，在线性空间中考察两个向量的相似性，不失线性地考察，那么 vi−vj 大概是个合理的选择；
2. ratioi,j,k 是个标量，那么 g(vi,vj,vk) 最后应该是个标量啊，虽然其输入都是向量，那內积应该是合理的选择，于是应该有这么一项吧： (vi−vj)Tvk 。
3. 然后作者又往 (vi−vj)Tvk 的外面套了一层指数运算 exp() ，得到最终的 g(vi,vj,vk)=exp((vi−vj)Tvk) ；
最关键的第3步，为什么套了一层 exp() ？
套上之后，我们的目标是让以下公式尽可能地成立：
Pi,kPj,k=g(vi,vj,vk)
即：
Pi,kPj,k=exp((vi−vj)Tvk)
即：
Pi,kPj,k=exp(vTivk−vTjvk)
即：
Pi,kPj,k=exp(vTivk)exp(vTjvk)
然后就发现找到简化方法了：只需要让上式分子对应相等，分母对应相等，即：
Pi,k=exp(vTivk)并且Pj,k=exp(vTjvk)
然而分子分母形式相同，就可以把两者统一考虑了，即：
Pi,j=exp(vTivj)
本来我们追求：
Pi,kPj,k=g(vi,vj,vk)
现在只需要追求：
Pi,j=exp(vTivj)
两边取个对数：
log(Pi,j)=vTivj
那么代价函数就可以简化为：
J=∑i,jN(log(Pi,j)−vTivj)2
现在只需要在 N∗N 的复杂度上进行计算，而不是 N∗N∗N ，现在关于为什么第3步中，外面套一层 exp() 就清楚了，正是因为套了一层 exp() ，才使得差形式变成商形式，进而等式两边分子分母对应相等，进而简化模型。
然而，出了点问题。
仔细看这两个式子：
log(Pi,j)=vTivj和log(Pj,i)=vTjvi
log(Pi,j) 不等于 log(Pj,i) 但是 vTivj 等于 vTjvi ；即等式左侧不具有对称性，但是右侧具有对称性。
数学上出了问题。
补救一下好了。
现将代价函数中的条件概率展开：
log(Pi,j)=vTivj
即为:
log(Xi,j)−log(Xi)=vTivj
将其变为：
log(Xi,j)=vTivj+bi+bj
即添了一个偏差项 bj ，并将 log(Xi) 吸收到偏差项 bi 中。
于是代价函数就变成了：
J=∑i,jN(vTivj+bi+bj−log(Xi,j))2
然后基于出现频率越高的词对儿权重应该越大的原则，在代价函数中添加权重项，于是代价函数进一步完善：
J=∑i,jNf(Xi,j)(vTivj+bi+bj−log(Xi,j))2
具体权重函数应该是怎么样的呢？
首先应该是非减的，其次当词频过高时，权重不应过分增大，作者通过实验确定权重函数为：
f(x)={(x/xmax)0.75,1,if x<xmaxif x>=xmax
到此，整个模型就介绍完了。
说明
如果错误，敬请指正。