【剖析】0-1背包算法

0-1背包

何为0-1背包？通俗的讲就是背包问题，一个包要么背这件物品，要么不背这件物品，0和1体现了要么背要么就不背，每件物品都有重量和价值，怎样选择物品才能获得最大点的价值，这个问题我们可以通过动态规划的方法进行巧妙的解决。

我们用当前得物品重量和包的剩余重量进行比较，如果书包剩余重量小于当前的物品重量，就直接进行下一个武平的匹配，如果书包剩余重量大于当前物品重量，有两种选择，要么装，要么不装，这个选择体现它的价值，通过递归很巧妙的实现了这个思想，代码如下：

int count2 = 0;
int Knapsack(int *w, int *v, int i, int len, int weight)
{
	count2++;
	if (w == NULL || v == NULL) return 0;
	if (i == len)
		return  weight >= w[i] ? v[i] : 0;//最后只有一个的元素时的最大值
	if (i < len)//大于一个元素
	{
		if (w[i]>weight)
			return Knapsack(w, v, i + 1, len, weight);
		else
		{
			int a =Knapsack(w, v, i + 1, len, weight);
			int b = Knapsack(w, v, i + 1, len, weight - w[i]) + v[i];
			return a > b ? a : b;
		}
	}
	return 0;
}

我们发现这个代码有很多的重复计算，那么怎么样消除重复项呢？我们借助二维数组，代码如下：

int count1 = 0;
int Knapsack_e(int *w, int *v, int i, int n, int j, int **m)
{
	count1++;
	if (i == n)
	{
		m[i][j] = j >= w[n] ? v[n] : 0;
		return m[i][j];
	}
	else if (m[i][j] > 0) return m[i][j];
	{
		if (jb ? a : b;
		}
		return m[i][j];
	}
}

这两个都是递归实现，那么循环的方法怎样实现呢？代码如下：

int count3;
int Knapsack1(int *w, int *v, int **c, int n,int weight)
{
	int i, j;
	i=n;
	for (j = 1; j <= weight; j++)
	{
		c[i][j] = w[i] > j ? 0 : v[i];
	}
	for (i = n - 1; i >= 1; i--)
	{
		for (j = 1; j <= weight; j++)
		{
			if (w[i] > j)
				c[i][j] = c[i + 1][j];
			else
			{
				c[i][j] = Max1(c[i + 1][j], c[i + 1][j - w[i]] + v[i]);
			}
		}
	}
	return c[1][weight];
}