Forecasting: Principles and Practice读书笔记Chapter 3

1. 一些简单的预测方法

• 平均值预测法：所有预测值都等于历史数据的均值。
• 朴素预测法：所有预测值都等于数据中最后一个观测值。
• 季节朴素预测法：对于季节性数据，预测值等于同一季度的最后一个观测值。比如，假设数据是以月份为间隔，那么未来所有1月份的预测值都等于历史数据中最后一个1月份的值。
• 趋势预测法：在$y_1$和$y_T$之间画一条直线，未来所有预测值都落在这条直线上，即：
  

在某些场景下，这些预测方法还真的管用。但我们常把它们作为评价其他方法的benchmark。

2. 变换与调整

变换与调整可以使得历史数据中的模式更加简单，从而可以使用更简单的预测模型，获得更准确的预测结果。

日历调整（Calendar adjustments）

有时候数据的差异是由于日历因素造成的。比如，我们的数据是每月的牛奶产量，而一年有12个月，每个月的天数不一样。如果能消除掉这个影响，比如把数据转化为以天为单位，我们会得到更简单的pattern。示例：

人口调整（Population adjustments）

当数据受到人口变化的影响时，我们应当将数据转化为per-capita的数据，也就是说，考虑每人、每一百人或每一千人的data，而非总的data。

通胀调整（Inflation adjustments）

如果数据受到货币价值的影响，我们应当对其调整。20年前一套20万的房子与现在一套20万的房子没法比。因此，financial相关的时间序列通常基于某一年美元价格进行调整。

数学变换

有时候， 数据的方差随时间变化。这时候，可以使用对数变换。假如我们以10为底，则原始数据变化10倍，在对数域上仅增减1，因此对数起到压缩变化范围的作用。

也可以使用幂变换，比如平方根也能起到压缩的作用。

一般地，有Box-Cox变换：

$\lambda$是一个可调的参数，可以根据需要选择对数变换或幂变换。

我们使用变换后的数据进行预测，预测完成后，要进行反变换：

3. 残差诊断

残差

残差是指观测值与拟合值的差：
$$e_t=y_t-{\hat{y}}_t$$

其中，${\hat{y}}_t$是对观测值预测的结果。一个好的预测方法的残差应该满足：

• 残差是不相关的。否则，残差中包含未被利用的信息。
• 残差是0均值的。否则，我们的预测是有偏的。

如果一个预测算法不满足以上二点，则它有提升的空间。若残差均值为$m(m̸=0)$，我们只需要给预测值加上m即可。检查上述两个条件有助于知道我们的model是否充分利用了可用的信息，但不应该作为选择模型的标准。此外，如果残差满足下面2个性质，则预测区间的计算会更加容易：

• 残差的方差一致。
• 残差服从正态分布。

portmanteau test

除了观察残差的自相关，我们可以做portmanteau test来检验残差自相关的前h个值是否显著区别于白噪声。一种portmanteau test为Box-Pierce test：

另一种是Box-Pierce test：

太大的Q或$Q^{\ast }$意味着此自相关不是来自白噪声。

4. 评价预测准确度

训练集与测试集

对于预测问题，我们也需要划分训练集与测试集。训练集用于估计模型参数，测试集用于评估预测准确度，这样才能反映模型对于新数据的预测能力。

预测误差

预测误差指观测值与预测值的差。注意，误差是在测试集上算的，而残差是在训练集上算的，这两个概念要分清。

Scale-dependent errors

Scale-depentent就是指误差的值与数据的值的单位一样，也就是一个绝对的误差，不能用来比较不同单位（尺度）的数据。两种常用的Scale-depentent误差为：

百分比误差

上面的$e_t$为绝对误差，我们可以定义百分比误差（也就是相对误差）$p_t=100e_t/y_t$，$p_t$自然就和数据的单位无关了。定义：

百分比误差的问题在于，当$y_t$为0或接近0时，会产生不稳定的值。同时，它仅对定比变量（ratio scale）有意义，而对定距变量（interval scale）没有意义。关于定比变量和定距变量可以参考。

Scaled errors

另一种衡量相对误差的方法是scaled errors，它是基于采用一个简单预测方法时的训练MAE对预测误差进行scale。

对于非季节性数据，scaled error可以定义为：

其中，分母是采用朴素预测法时在训练集上的MAE。

对于季节性数据，scaled error可以定义为：

分母是采用季节朴素预测法时在训练集上的MAE。