二叉树非递归版的后序遍历算法

你会学到什么？

树的递归遍历算法很容易理解，代码也很精简，但是如果想要从本质上理解二叉树常用的三种遍历方法，还得要思考树的非递归遍历算法。

读完后的收获：

• 将学到二叉树的后序遍历的非递归版本
• 明白栈这种数据结构该怎么使用

讨论的问题是什么？

主要讨论二叉树的非递归版后序遍历该如何实现，包括借助什么样的数据结构，迭代的构思过程等。

相关的概念和理论

遍历

Traversal 指沿着某条搜索路线，依次对树中每个结点均做一次且仅做一次访问。访问结点所做的操作依赖于具体的应用问题。

二叉树组成

二叉树由根结点及左、右子树这三个基本部分组成。

后序遍历

Postorder Traversal 访问根结点的操作发生在遍历其左、右子树之后。

思考过程

后序遍历是从左子树，再到右子树，最后到根节点的遍历次序。如果借助栈来实现，我们自然想到先推入根节点，再推入右子树，最后推入左子树，然后出栈的顺序便是与推入顺序相反的。

那么这个问题，岂不是非常简单，是的，如果这棵树的左子树仅包括一个节点，右子树也仅仅包括一个节点，就像下图这样，

很显然，我们这样考虑树结构，思维是很局限的，我们要考虑的是节点2下还重复以上结构，节点3当然也是如此，每个节点都有可能重复这种结构，或仅有左右孩子之一，或都没有也就是叶子。

那么，如此递归结构，该如何思考写出非递归算法呢？

• A 我们还是坚持从定义出发，不管一颗多么复杂的二叉树，在后序遍历中，一定先遍历的节点都位于节点2这一枝上，如图所示，所以我们会沿着2这一枝往下遍历，一直找，一直入栈，直到找到一个没有左孩子的节点，假设为节点2；
• B 接下来要看下节点2有没有右孩子，如果没有，则表明节点2为叶子节点，直接访问这个节点2，然后出栈节点2；
• C 如果节点2存在右孩子，如上图所示，那么我们该怎么办呢？我们把这个右孩子看成以其为根的子树，然后重复step A。如图所示，我们假设2下的右孩子是个叶子节点。分析这个过程，我们当然要入栈这个节点，然后观察到它没有左孩子，也没有右孩子，符合上文提到的step B；
• D 这个节点出栈后，此时的栈顶元素为节点2，也就是我们下一个想要访问的元素，这是这个算法最难的地方，不是很容易能想到。

此处的访问条件不再是step B中的条件，而是刚才这个节点2的右孩子我们已经访问过了，所以该轮到其父节点2了。

需要用到一个指针存储着上一迭代的访问过的节点。

以上就是后序遍历非递归版的思路。

实现代码

这里我们以二叉树为例，讨论二叉树的后序遍历的非递归版实现。

我们先看下二叉树的节点TreeNode的数据结构定义。

节点的数据域的类型定义为泛型 T，含有左、右子树，及一个带有数据域的构造函数。

  public class TreeNode
    {
        public T val { get; set; }

        public TreeNode left { get; set; }
        public TreeNode right { get; set; }

        public TreeNode(T data)
        {
            val = data;
        }
    }

二叉树的后序遍历的非递归版实现代码：

public static IList PostorderTraversal(TreeNode root)
        {
            IList rtn = new List();
            var s = new Stack>();
            if (root == null) return rtn;
            s.Push(root);
            TreeNode cur = root;
            TreeNode r = null; //标记访问过的右子树
            while (s.Count > 0)
            {
                 //延伸到左子树
                if (cur != null && cur.left != null)
                {
                    s.Push(cur.left);
                    cur = cur.left;
                }
                else
                {
                    cur = s.Peek();
                   //访问右子树的操作
                    if (cur.right != null && cur.right != r)
                    {
                        cur = cur.right;
                        s.Push(cur);
                    }
                    else //访问节点的操作
                    {
                        rtn.Add(s.Pop().val);
                        r = cur;
                        cur = null;
                    }
                }
            }
            return rtn;
        }

代码分析

代码中用到了两个非常重要的指针 cur，r 。

cur是每次迭代都会更新的指针，它没有非常明确的语义，它在某步迭代中可能是某个子树上的左节点抑或是右节点，也可能含义是标记着上一步迭代中访问到了一个叶子节点，此时需要从栈顶中拿值了。

r 的语义很明确，它是某次迭代过程中，如果发生了访问节点的操作，那么它指向这个访问过的节点，目的是为了判断是否向右子树展开，如下决定是否伸向向右子树的一个且条件的一部分。

也就是同时满足右子树不为空，并且右子树不等于上一迭代中的节点，然后才伸向右子树。

                 //访问右子树的操作
                if (cur.right != null && cur.right != r)
                {
                    cur = cur.right;
                    s.Push(cur);
                }

算法评价

非递归版后序遍历算法的时间复杂度为 O(n)，空间复杂度为栈所占的内存空间为 O(n)。

总结

讨论了二叉树的非递归版后序遍历算法，算法借助栈，相比于前序遍历和中序遍历，它多了一个指针指向上一迭代中访问过的节点，目的是为了判断是否向右子树展开，算法的时间和空间复杂度都为 O(n)。

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