L1自适应控制-理论基础

L1自适应背景


L1自适应控制算法是一种快速鲁棒的自适应控制。该算法实际上是模型参考自适应控制进行了改进,通过在控制律设计环节添加了一个低通滤波器,保证了控制律和自适应律设计的分离。

L1自适应系统机构及预备知识


  • L1自适应控制系统结构:
    L1自适应控制系统可分为:被控对象、状态预测器、自适应律、控制律
    L1自适应控制-理论基础_第1张图片

  • 被控对象:采用状态空间形式表达,其中 w θ 等为参数不确定性

  • 状态预测器:数学模型如上图所示,其中 x w 等对应的是被控对象当中的估计值。当时间趋于无穷时,被控对象将与状态预测器具有一致的动力学特性,估计偏差在李雅普诺夫意义下稳定
  • 自适应律:以状态预测器和被控对象之间的误差为主要输入,保证其在李雅普诺夫意义下稳定而得到了对不确定性参数的估计
  • 控制律:包括两个部分 1、与状态预测器相匹配的对参考输入的重构;2、低通滤波环节。

状态预测器


  • 含有参数不确定参数的被控对象数学模型可建立为:

x˙=Ax+Bu+σ

其中 A,B,σ 表示系统的不确定性,其中 A 表示被控对象本身结构的不确定性, B 表示输入引起的不确定性,而 σ 表示系统存在的扰动,与模型参考自适应控制系统设计类似

  • 将被控对象转换为控制系统的期望输出表达
    数学描述为:

x˙=Amx+br

其中 Am 满足霍尔维茨条件即满足稳定条件, r=wu+θx+σ
对应可知, A=Am+bθ B=bw σ=bσ

  • 状态预测器设计
    状态预测器是为了被控对象的不确定参数进行估计,其与被控对象具有一致的数学表达。则状态预测器建模为:
    x^˙=Amx^+b(w^u+θ^x+σ^)

    将被控对象与状态预测器相减可得,由参考输入$u$到误差$\tilde{x}$的状态表达式为:

x~˙=Amx~+b(w~u+θ~x+σ~)

为了保证上式是渐进稳定的,写出误差方程的能量函数:

V=12x~TPx~+12Γ1(w~Tw~+θ~Tθ~+σ~Tσ~)

其中 Γ 为系统的自适应增益,对上式求导,写出能量函数导数。则可证明误差方程在李雅普诺夫意义下稳定。

自适应律设计


自适应律设计部分,通过对估计参数确定其数学表达,保证误差方程在李雅普诺夫意义稳定,即对李雅普诺夫导数为负定。

w^=Γu(Pb)Tx~dt

θ^=Γx(Pb)Tx~dt

σ^=Γ(Pb)Tx~dt

上式为自适应律部分,其为对不确定参数的估计,并保证了误差方程在李雅普诺夫意义下稳定

控制律设计


  • 对控制系统进行控制律设计,控制律环节输入为 u `,输出为 r 的数学表达,其保证了输入到状态预测器输出是无稳定误差的(即输出可稳定的跟踪输入信号):

状态预测方程(输入到输出的传递函数)为:

y~=c(sIAm)1b(w~u+θ~x+σ~)

当时间趋于无穷时,可达到:
y~=cA1mb(w^u+θ^x+σ^)

为保证 y^=r 则可得:

u=1w^(1cA1mbrθ^xσ^)

  • 设计低通滤波器,并用L1小增益定理证明稳定性

    设计低通滤波器 D(s)=1s ,对低通滤波器带宽 k 设计,为保证闭环控制系统满足 L1 小增益定理。

    小增益定理:反馈系统中,u1 u2为系统的输入;y1 y2为系统的输出; e1 e2为误差信号;H1 H2为系统本身的特性。当H1 H2的L1范数增益乘积小于1时,系统满足内稳定条件
    L1自适应控制-理论基础_第2张图片
    L1范数:向量各个元素绝对值之和

最终控制律数学表达式为:

u=ks+kw^(1cA1mbrθ^xσ^)

实现框图如图一所示, u 输出添加低通滤波器: Ks 后,负反馈到 u 中。所以可知
u=ks(1cA1mbrθ^xσ^w^u)

控制性能分析


控制律设计保证了输入到 y^ 的稳定性,本节需要分析输入到系统输出的稳态性能

结论:系统误差的L无穷范数的平方与控制系统自适应参数成反比,当自适应参数足够大时,系统误差在任意时刻趋近于0

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