卡尔曼（Kalman）滤波（一）--Kalman滤波的本质

1.Kalman滤波的简介

       接触过信号处理的朋友应该清楚，信号在传输过程中必然受到噪声干扰（外界的二和内部的），使得输出信号具有随机性，为了最大限度降低这种干扰，就需要从混杂在一起的各种信号中提取自己想要的信号，这过程称之为滤波，滤波的方法因信号而异。

       对于确定性信号，由于其具有确定的频谱，因此可以设置满足相应频率特性的filter，比如LPF，HPF，BPF等，抑制干扰信号的通过，这一类的filter既可用模拟（Analog）的filter实现，也可以用数字（Digital）的实现，通常被称为常规滤波。

       对于随机信号，由于其具与确定的功率谱，因此可以根据有用信号和干扰信号的功率谱来设计对应的filter，比如维纳滤波（Winer），它就是基于功率谱的分解从而设计得来的，基本机理同常规滤波相似，但由于其基于频域，并且还要求解维纳-霍普夫方程，计算量和存储量都很大，所以很少被应用，因此很多年后一个叫Kalman的人提出了一种思想，通过那些与有用信号相关的观测量中估计出有用信号，这一思路就是后来著名的Kalman滤波算法，这个算法真的用处大大啊。

      Kalman引入了状态空间的概念，并用状态方程来描述输入输出，在估计过程中使用状态方程、观测方程，以及系统噪声和观测噪声的激励构成完整的滤波算法。另外，与维纳滤波不同的是，该滤波算法是基于时域的，优美的避免了维纳滤波在频域上的限制，不仅可以估计平稳信号，而且可以估计非平稳信号以及多维，因而广泛被应用。

2.估计问题

2.1估计问题的简介

       熟悉Kalman的朋友会了解，Kalman滤波本质上来说其实就是一种实时递推算法，以随机信号作为处理对象，输入为系统的观测量，输出为系统的状态和参数的估计值，而输入和输出之间又是通过两种更新算法（时间更新和观测更新）联系在一起的，估计值是通过状态方程和观测方程估计而来，因此这样一看，我们所说的Kalman滤波其实是有别于上面说的常规滤波的，说白了，Kalman滤波算法就是一种最优估计问题。

       我们把通过对观测数据进行处理而得到所需参数的估计值的这一过程称作估计问题，估计问题通常分两类：1)参数估计：系统的结构参数部分或全部未知；2）状态估计：在需要知道系统状态时，由于某些具体限制导致系统部分或全部状态未知。一般的，一个典型的估计问题由三部分组成：1）先验知识；2）约束条件；3）估计准则函数；其中准则函数明显是用来衡量一个估计的好坏的。

2.2估计方法与准则函数

       在实际应用中，我们总希望得到的估计值越接近实际值越好，即最优估计，但是呢，实际情况下却不那么容易达到，为什么呢，因为准则函数的选取各不相同啊，导致最优估计并不唯一，只有选择的准则函数适合了，才可能得到想要的最优估计。通常，准则函数又叫做损失函数，这一损失函数是根据先验知识确定的，然后使其最小化或最大化，损失函数不同，导致估计方法也不同，根据前人学者们的宝贵经验，实践中比较可行的准则函数有：直接误差准则、误差函数矩准则、直接概率准则，估计方法与估计准则密切联系，常用的估计方法有：最小二乘估计（LS）或最小平方误差估计（MSE）、最小方差估计、极大似然估计、极大后验估计、核估计。

2.3估计模型

      通常考虑下面离散模型：

          

其中，X(k)是系统的n维状态向量；Y(k)是系统的m维观测向量；w(k)是系统的p维随机干扰向量；v(k)是系统的r维观测噪声向量；是系统的nxn维状态转移矩阵。

参考：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8D%A1%E5%B0%94%E6%9B%BC%E6%BB%A4%E6%B3%A2