[Combinatorial] 3 似函数，非函数

3-1 从投掷色子说起

母函数

定义2-1 对于序列c0 , c1 , c2…, 构造一函数, 称G(x)为序列c0 , c1 , c2…的母函数。

母函数和计数法则

母函数是母亲，计数序列是孩子。函数中的系数对应计数序列。
– 计数工具
– 不考虑收敛性
– 不考虑实际上的数值
– 形式幂级数(Formal power series)
数学发展中比比皆是通过映射手段求解的现象。
多项式乘法运算使母函数具备了计数的能力：乘法法则和加法法则。

3-2 母函数的计数问题

若有1克、2克、3克、4克的砝码各一枚， 问能称出哪几种重量？有几种可能方案？
若有1、2、4、8、16、32克的砝码各一枚，问能称出哪几种重量？有几种可能方案？
从母函数可以得知，用这些砝码可以称出 从1克到63克的重量，而且办法都是唯一的。这问题可以推广到证明任一十进制数n。

3-3 整数拆分

所谓自然数(正整数)分拆,就是将一个正整数表达成若干个正整数之和:
各部分之间考虑顺序的叫有序分拆(Composition) ; 否则叫无序分拆(Partition)。

有序分拆(Composition)

3的有序2-拆分：3=2+1=1+2
n的有序r-拆分的个数是C(n-1,r-1)
模型1：n个球，要分成r份，用r-1个隔板插入到球之间的n-1个空隙，方案数C(n-1,r-1)
模型2：放球模型： n的一个r-分拆相当于把n个无区别的球放到r个有标志
的盒子，盒子不允许空着
例: 整数n拆分成1， 2， 3， …， m的和，并允许重复，求其母函数。（见书P.67）

无序分拆(Partition)

3的无序2-拆分： 3=2+1
3的所有无序拆分3=3+0+0=2+1+0=1+1+1
x1+x2+…+xr=n的非负整数解个数？ C(n+r-1,n)
相当于把n个无区别的球放到r个有标志的盒子，盒子允许空着。
所谓整数拆分(partition of a positive integer n )即把整数分解成若干整数的和，相当于把n个无区别的球放到n个无标志的盒子， 盒子允许空着，也允许放多于一个球。整数拆分成若干整数的和，办法不一，不同拆分法的总数叫做拆分数。

正整数的无序拆分：

将一个正整数n拆分成若干正整数的和，数字之间顺序无关并允许重复，其不同的拆分数即p(n)。
p(3)=3 : 3， 2 + 1， 1 + 1 + 1
整数拆分p(n)的母函数

卷积？：

基于整型表示的多项式乘法算法只能运算到p(416)，整数拆分数能算到多大？需要大数乘法的算法。

3-4 Ferrers图像（Ferrers diagram）

利用Ferrers图像可得关于整数拆分的十分有趣的结果。
(a)整数n拆分成最大数为k的拆分数，和数n拆分成k个数的和的拆分数相等。
(b)整数n拆分成最多不超过m个数的和的拆分数，和n拆分成最大不超过m的拆分数相等。理由和(a)相类似。
具体见书P70 2.9/2.10

3-5 母函数和递推关系

递推关系(Recurrence Relation)：即差分方程(Difference equation),是一种递推地定义一个序列的方程式：序列的每一项目定义为前若干项的函数。

从G(x)得到序列{a_n}。关键在于要搭起从序列到母函数，从母函数到序列这两座桥。