HDU OJ -- Game of Connections(ACM Steps:2.3.7)

一、概述

1.问题描述

给出2n个数，从1开始把它们按顺时针方向构成一个圆。将圆内的2n个数字两两连线，连线之间不能相交，问可能的连线方式有几种？(1=

2.问题链接

HDU OJ -- Game of Connections(ACM Steps:2.3.7)

3.问题截图

如图1.1。

图1.1  问题截图

二、算法思路

一开始没什么思路，将n取了几个值后，发现了其中的规律。

1.n=1

当n=1时，有2 x 1 = 2个数，两个数可以看成两个点，由于两点仅能组成一条线段，所以可能的连线方式为1种，这里设y(n)为问题规模为n时题目的解答，当n=1时，记y(1)=1。如图2.1所示。

图2.1  n=1时的解答图示

2.n=2

当n=2时，有2 x 2 = 4个数，可能的连线方式如图2.2所示。

图2.2  n=2时的解答图示

根据题意，无论哪种结果（即满足条件的连线方式），每个数字都会找到自己对应的数字组成线段，对于数字1也不例外，所以这里可以将问题这样求解：让数字1与剩余的数字分别做连线，并统计每种连线下可能的结果，它们的和即是问题最后的结果。当n=2时，除了1外还剩下3个数字，题目的求解转变为让1分别于3个数字做连线，然后分别对这三种情况求出结果，如图中的1)，2)，3)所示。

1）1与2连线

当1与2连线后，3和4处于孤立状态，并且他们在同一个区域，所以问题变为：2个数字有几种组成连线的方式，这恰是n=1时所描述的问题，如图中1）部分的红色圆圈所示，由于前面已将n=1时的结果计算出，这里可以得出结论：n=2，当1与2连线时，可能的连线方式有y(1) = 1种。

2）1与3连线

当1与3连线后，剩余的数字，即3和4将不可能构成满足题意的线段（即不相交的线段组合）。故当n=2，1与3连线时，可能的连线方式有0种。

3）1与4连线

1与4连线后，2和3处于孤立状态，并且处于同一区域，这是和情况1）完全相同，所以n=2，当1与4连线时，可能的连线方式有1种。

综上，n=2时，题目的最后结果，即y(2) = y(1) + y(1) = 2种。

从上面也可以得出结论：1与奇数数字连线时，将不具有满足题意的结果。因为连线后，相当于把圆分成了两个区域，而如果某个区域内有奇数个数字，那么必定有1个数字要与其他区域的数字相连，这样就一定会产生相交的连线。如n=2，当1与3连线后，分成了两个区域，一个区域含有数字2，一个区域含有数字4，它们要构成线段必定要与其他的线段产生交点。

 

3.n=3

n=3，有6个数字，可能的结果如图2.3所示。

图2.3  n=3时的解答图示

如n=2所得出的结论所述，当n=3时，只需要计算数字1与偶数数字连线下的结果即可。

1）1与2连线

1与2连线后，剩余4个孤立数字，并且4个数字处于同一区域，问题变为：4个数字有几种组成连线的方式，这恰是n=2时所描述的问题，如图中1）部分的红色圆圈所示，n=2的结果已经计算过，所以这里有结论：n=3，1与2连线时，可能的连线方式有y(2) = 2种。

2）1与4连线

1与4连线后，剩余4个孤立数字，但是处于两个区域，其中2个数字在一个区域，另外2个数字在另一区域，每个区域都是n=1时所描述的问题，由于两个区域的连线方式可以自由组合，所以有结论当n=3，1与4连线后，可能的连线方式有y(1) x y(1) = 1 x 1 = 1种。

3）1与6连线

1与6连线后，剩余4个孤立数字，并且4个数字处于同一区域，这与1）描述一致，故可能的连线方式有2种。

综上，n=3时，y(3) = y(2) + y(1) x y(1) + y(2) = 2 + 1 x 1 + 2 = 5种。

 

4.n=4

n=4时，有8个数字，可能的结果如图2.4所示。

图2.4  n=4时的解答图示

1）1与2连线

连线后，6个数字处于1个区域，这是n=3时所描述的问题，故可能的结果为y(3) = 5。

2）1与4连线

连线后，6个数字处于2个区域，其中2个在一个区域，这是n=1时问题描述的情形，另外4个在另一个区域，这是n=2时问题描述的情形，所以可能的结果为y(1) x y(2) = 1 x 2 = 2。

3）1与6连线

连线后，与2）描述的情景相同，故可能的结果为2种。

4）1与8连线

连线后，与1）描述的情景同，故结果为5种。

综上，y(4) = y(3) + y(1) x y(2) + y(2) x y(1) + y(3) = 5 + 1 x 2 + 1 x 2 + 5 = 14种。

 

综合上述n的四个取值对应的y(n)，可以发现y(n)的计算具有一定的规律：

这里假设y(0) = 1。

y(1) = 1

y(2) = y(1) x y(0) + y(0) x y(1)

y(3) = y(2) x y(0) + y(1) x y(1) + y(0) x y(2)

y(4) = y(3) x y(0) + y(2) x y(1) + y(1) x y(2) + y(0) x y(3)

...

y(n) = y(n-1) x y(0) + y(n-2) x y(1) + ... + y(0) x y(n-1)

三、算法实现

#include 
    #include 
    #include 
    using namespace std;
    class NumStr
    {
    public:
        string str;
        NumStr()=default;
        NumStr(string str):str(str){}
        bool operator==(NumStr& oprand)
        {
            if(str.size()!=oprand.str.size())
                return false;
            for(unsigned i=0;ilen2)
                return false;
            else if(len1=0;i--)
            {
                if(str[i]>oprand.str[i])
                    return false;
                else if (str[i]'9')
                {
                    carry=1;
                    tmp-=10;
                }
                else
                {
                    carry=0;
                }
                ret.str+=tmp;
            }
            if(str.size()>minLen)
            {
                for(unsigned i=minLen;i'9')
                    {
                        carry=1;
                        tmp-=10;
                    }
                    else
                    {
                        carry=0;
                    }
                    ret.str+=tmp;
                }
            }
            if(oprand.str.size()>minLen)
            {
                for(unsigned i=minLen;i'9')
                    {
                        carry=1;
                        tmp-=10;
                    }
                    else
                    {
                        carry=0;
                    }
                    ret.str+=tmp;
                }
            }
            if(carry)
                ret.str+='1';
            return ret;
        }
        NumStr operator*(unsigned char oprand)
        {
            NumStr ret;
            unsigned char carry=0;
            unsigned char tmp;
            for(unsigned i=0;i0)
                        tmpStr.str.insert(0,i,'0');
                    ret=ret+tmpStr;
                }
            }
            return ret;
        }
        void print()
        {
            for(int i=str.size()-1;i>=0;i--)
                cout<>n && n!=-1)
        {
            y[n].print();
            cout<